Contoh soal matematika kelas 8 semester 1 bab 4

Menguasai Relasi dan Fungsi: Kumpulan Contoh Soal Matematika Kelas 8 Semester 1 Bab 4

Matematika kelas 8 semester 1 membawa kita pada petualangan yang menarik ke dunia relasi dan fungsi. Bab 4 ini merupakan fondasi penting untuk pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Memahami bagaimana dua himpunan saling berhubungan dan bagaimana sebuah aturan memetakan elemen dari satu himpunan ke himpunan lain adalah keterampilan krusial.

Artikel ini akan menjadi panduan komprehensif Anda dalam menguasai bab relasi dan fungsi. Kita akan mengupas tuntas berbagai jenis soal yang sering muncul, mulai dari konsep dasar hingga aplikasi yang lebih mendalam. Dengan pemahaman yang kuat dan latihan soal yang memadai, Anda akan siap menghadapi berbagai tantangan matematika.

Memahami Konsep Dasar: Relasi dan Himpunan Pasangan Berurutan

Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang definisi dasar.

• Himpunan: Kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas.
• Relasi: Aturan yang menghubungkan anggota dari satu himpunan (himpunan asal) dengan anggota dari himpunan lain (himpunan kawan).
• Himpunan Pasangan Berurutan: Cara merepresentasikan relasi dengan menuliskan pasangan elemen yang saling berhubungan dalam bentuk $(a, b)$, di mana $a$ berasal dari himpunan asal dan $b$ berasal dari himpunan kawan.

Contoh Soal 1: Merepresentasikan Relasi dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Misalkan himpunan $A = 1, 2, 3, 4$ dan himpunan $B = 2, 4, 6, 8$. Relasi yang menghubungkan himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah "setengah dari". Tuliskan relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan berurutan.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari pasangan elemen dari $A$ dan $B$ yang memenuhi aturan "setengah dari".

• Untuk elemen 1 di himpunan $A$, setengah dari 1 adalah 0.5. 0.5 tidak ada di himpunan $B$.
• Untuk elemen 2 di himpunan $A$, setengah dari 2 adalah 1. 1 tidak ada di himpunan $B$.
• Untuk elemen 3 di himpunan $A$, setengah dari 3 adalah 1.5. 1.5 tidak ada di himpunan $B$.
• Untuk elemen 4 di himpunan $A$, setengah dari 4 adalah 2. 2 ada di himpunan $B$. Maka, pasangan berurutannya adalah $(4, 2)$.

Namun, seringkali soal lebih menekankan pada hubungan yang memetakan elemen dari himpunan asal ke himpunan kawan. Mari kita coba membalik logikanya: elemen mana di himpunan $A$ yang jika dikalikan dua akan menghasilkan elemen di himpunan $B$?

• $1 times 2 = 2$. 2 ada di himpunan $B$. Maka, pasangan berurutannya adalah $(1, 2)$.
• $2 times 2 = 4$. 4 ada di himpunan $B$. Maka, pasangan berurutannya adalah $(2, 4)$.
• $3 times 2 = 6$. 6 ada di himpunan $B$. Maka, pasangan berurutannya adalah $(3, 6)$.
• $4 times 2 = 8$. 8 ada di himpunan $B$. Maka, pasangan berurutannya adalah $(4, 8)$.

Jadi, relasi "setengah dari" dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dalam bentuk himpunan pasangan berurutan adalah:
$R = (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$

Contoh Soal 2: Menentukan Relasi dari Himpunan Pasangan Berurutan

Diketahui himpunan pasangan berurutan $P = (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)$. Tentukan relasi yang menghubungkan himpunan asal ke himpunan kawan.

Pembahasan:

Kita perlu mencari pola atau aturan yang menghubungkan elemen pertama (dari himpunan asal) dengan elemen kedua (dari himpunan kawan) pada setiap pasangan berurutan.

Mari kita perhatikan selisih antara elemen kedua dan elemen pertama pada setiap pasangan:

• $5 – 2 = 3$
• $7 – 3 = 4$
• $9 – 4 = 5$
• $11 – 5 = 6$

Selisihnya tidak konstan. Coba kita perhatikan perkalian:

• $2 times k = 5$ (tidak bulat)
• $3 times k = 7$ (tidak bulat)

Mari kita coba bentuk $y = ax + b$.
Jika kita ambil pasangan $(2, 5)$ dan $(3, 7)$:
$5 = 2a + b$
$7 = 3a + b$
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
$7 – 5 = (3a + b) – (2a + b)$
$2 = a$

Substitusikan $a=2$ ke persamaan pertama:
$5 = 2(2) + b$
$5 = 4 + b$
$b = 1$

Jadi, relasinya adalah $y = 2x + 1$. Mari kita uji dengan pasangan lain:

• Untuk $(4, 9)$: $2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$. Cocok.
• Untuk $(5, 11)$: $2(5) + 1 = 10 + 1 = 11$. Cocok.

Oleh karena itu, relasi yang menghubungkan himpunan asal ke himpunan kawan adalah "dua kali dari bilangan tersebut ditambah satu".

Representasi Relasi dalam Berbagai Bentuk

Selain himpunan pasangan berurutan, relasi juga dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah dan diagram Kartesius.

• Diagram Panah: Menggambarkan dua himpunan sebagai lingkaran atau oval, dengan panah yang menunjukkan hubungan antar elemen.
• Diagram Kartesius: Menggambarkan dua sumbu (sumbu-x untuk himpunan asal dan sumbu-y untuk himpunan kawan) dan menandai titik-titik yang merepresentasikan pasangan berurutan.

Contoh Soal 3: Menggambarkan Relasi dengan Diagram Panah dan Kartesius

Misalkan himpunan $P = 1, 2, 3$ dan himpunan $Q = 2, 4, 6$. Relasi yang menghubungkan $P$ ke $Q$ adalah "dua kali dari". Gambarkan relasi ini dalam bentuk diagram panah dan diagram Kartesius.

Pembahasan:

Pertama, kita tentukan himpunan pasangan berurutannya.

• $1 times 2 = 2$. Pasangan: $(1, 2)$
• $2 times 2 = 4$. Pasangan: $(2, 4)$
• $3 times 2 = 6$. Pasangan: $(3, 6)$
  Himpunan pasangan berurutannya adalah $R = (1, 2), (2, 4), (3, 6)$.

Diagram Panah:

Buat dua lingkaran, satu untuk himpunan $P$ dan satu untuk himpunan $Q$. Tuliskan elemen-elemennya. Kemudian, tarik panah dari elemen di $P$ ke elemen di $Q$ yang sesuai dengan relasi "dua kali dari".

     P             Q
   -----       -----
  |     |     |     |
  |  1  |----->|  2  |
  |     |     |     |
  |  2  |----->|  4  |
  |     |     |     |
  |  3  |----->|  6  |
   -----       -----

Diagram Kartesius:

Buat sistem koordinat Kartesius. Sumbu horizontal (sumbu-x) mewakili himpunan $P$, dan sumbu vertikal (sumbu-y) mewakili himpunan $Q$. Tandai titik-titik yang sesuai dengan pasangan berurutan yang telah kita temukan.

• Titik $(1, 2)$
• Titik $(2, 4)$
• Titik $(3, 6)$

   ^ Q
   |
 8 +
   |
 6 +       . (3,6)
   |
 4 +   . (2,4)
   |
 2 + . (1,2)
   |
 0 +----------------> P
     0 1 2 3 4 5 6 7 8

Memahami Fungsi: Syarat-syarat Fungsi

Fungsi adalah jenis relasi khusus yang memiliki dua syarat penting:

1. Setiap anggota himpunan asal harus memiliki pasangan di himpunan kawan.
2. Setiap anggota himpunan asal hanya boleh memiliki tepat satu pasangan di himpunan kawan.

Contoh Soal 4: Menentukan Apakah Suatu Relasi Merupakan Fungsi

Periksa apakah relasi-relasi berikut merupakan fungsi. Jelaskan alasan Anda.

a. Himpunan pasangan berurutan $S = (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)$
b. Himpunan pasangan berurutan $T = (x, 5), (y, 6), (x, 7)$
c. Relasi dari himpunan $M = textapel, pisang, jeruk $ ke himpunan $N = textmerah, kuning, hijau $ di mana relasinya adalah "berwarna". (Asumsikan apel bisa merah atau hijau, pisang kuning, jeruk bisa hijau atau oranye).

Pembahasan:

a. Relasi $S$:

• Setiap anggota himpunan asal $a, b, c, d$ memiliki pasangan.
• Setiap anggota himpunan asal memiliki tepat satu pasangan. (Meskipun ‘a’ dan ‘d’ berpasangan dengan angka yang sama, itu tidak masalah, yang penting setiap anggota asal hanya punya satu pasangan).
  Jadi, relasi $S$ merupakan fungsi.

b. Relasi $T$:

• Anggota himpunan asal ‘x’ memiliki dua pasangan di himpunan kawan, yaitu 5 dan 7.
  Jadi, relasi $T$ bukan merupakan fungsi karena ada anggota himpunan asal yang memiliki lebih dari satu pasangan.

c. Relasi "berwarna" dari himpunan $M$ ke himpunan $N$:

• Apel bisa berwarna merah dan hijau. Ini berarti anggota himpunan asal "apel" memiliki dua pasangan di himpunan kawan.
  Jadi, relasi ini bukan merupakan fungsi.

Domain, Kodomain, dan Range

Dalam suatu fungsi, terdapat istilah-istilah penting:

• Domain: Himpunan asal dari fungsi (semua elemen pertama dari pasangan berurutan).
• Kodomain: Himpunan kawan dari fungsi (semua elemen yang mungkin menjadi pasangan).
• Range (Daerah Hasil): Himpunan bagian dari kodomain yang merupakan hasil pemetaan dari domain (semua elemen kedua dari pasangan berurutan yang benar-benar terpetakan).

Contoh Soal 5: Menentukan Domain, Kodomain, dan Range

Diketahui fungsi $f$ memetakan himpunan $X = 1, 2, 3$ ke himpunan $Y = 2, 4, 6, 8$ dengan aturan $f(x) = 2x$. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi $f$.

Pembahasan:

• Domain: Himpunan asal adalah $X = 1, 2, 3$.
• Kodomain: Himpunan kawan adalah $Y = 2, 4, 6, 8$.
• Range: Kita perlu mencari hasil pemetaan dari setiap elemen domain menggunakan aturan $f(x) = 2x$.
  • $f(1) = 2 times 1 = 2$
  • $f(2) = 2 times 2 = 4$
  • $f(3) = 2 times 3 = 6$
    Jadi, range dari fungsi $f$ adalah $2, 4, 6$.

Contoh Soal 6: Mencari Nilai Fungsi

Jika diketahui fungsi $g(x) = 3x – 5$, tentukan nilai dari:
a. $g(4)$
b. $g(-2)$

Pembahasan:

a. Untuk mencari $g(4)$, kita substitusikan $x=4$ ke dalam rumus fungsi $g(x)$:
$g(4) = 3(4) – 5 = 12 – 5 = 7$.

b. Untuk mencari $g(-2)$, kita substitusikan $x=-2$ ke dalam rumus fungsi $g(x)$:
$g(-2) = 3(-2) – 5 = -6 – 5 = -11$.

Contoh Soal 7: Menentukan Fungsi dari Informasi yang Diberikan

Sebuah fungsi $h$ ditentukan oleh $h(x) = ax + b$. Jika diketahui $h(1) = 5$ dan $h(3) = 11$, tentukan rumus fungsi $h(x)$.

Pembahasan:

Kita memiliki dua informasi:

1. $h(1) = 5 implies a(1) + b = 5 implies a + b = 5$
2. $h(3) = 11 implies a(3) + b = 11 implies 3a + b = 11$

Kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel. Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan eliminasi. Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
$(3a + b) – (a + b) = 11 – 5$
$2a = 6$
$a = 3$

Sekarang, substitusikan nilai $a=3$ ke persamaan pertama:
$3 + b = 5$
$b = 2$

Jadi, rumus fungsi $h(x)$ adalah $h(x) = 3x + 2$.

Penerapan Relasi dan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep relasi dan fungsi tidak hanya ada di buku matematika, tetapi juga sangat relevan dalam kehidupan sehari-hari.

• Biaya parkir: Biaya parkir seringkali merupakan fungsi dari waktu. Semakin lama Anda parkir, semakin besar biayanya.
• Gaji karyawan: Gaji bisa merupakan fungsi dari jumlah jam kerja atau jumlah unit yang diproduksi.
• Jarak tempuh: Jarak yang ditempuh sebuah kendaraan adalah fungsi dari kecepatan dan waktu tempuh.
• Harga barang: Harga sebuah barang bisa merupakan fungsi dari kualitas, merek, atau jumlah yang dibeli.

Contoh Soal 8: Penerapan Fungsi dalam Masalah Kontekstual

Seorang penjual kue menghitung biaya produksi sebuah kue adalah Rp 5.000,- per buah. Ia juga mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000,- per hari untuk operasional toko. Jika $x$ adalah jumlah kue yang diproduksi dalam sehari dan $C(x)$ adalah total biaya produksi harian, tentukan rumus fungsi $C(x)$ dan hitung total biaya jika ia memproduksi 50 kue.

Pembahasan:

• Biaya variabel per kue adalah Rp 5.000,-. Jadi, untuk $x$ kue, biaya variabelnya adalah $5000x$.
• Biaya tetap per hari adalah Rp 100.000,-.
• Total biaya produksi harian, $C(x)$, adalah jumlah biaya variabel dan biaya tetap.

Maka, rumus fungsinya adalah:
$C(x) = 5000x + 100000$

Untuk menghitung total biaya jika ia memproduksi 50 kue, kita substitusikan $x=50$:
$C(50) = 5000(50) + 100000$
$C(50) = 250000 + 100000$
$C(50) = 350000$

Jadi, total biaya jika ia memproduksi 50 kue adalah Rp 350.000,-.

Tips Jitu Menguasai Relasi dan Fungsi:

1. Pahami Definisi dengan Baik: Pastikan Anda benar-benar mengerti apa itu relasi, fungsi, domain, kodomain, dan range.
2. Latihan Soal Beragam: Kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang paling dasar hingga yang melibatkan aplikasi.
3. Visualisasikan: Gunakan diagram panah dan diagram Kartesius untuk membantu memahami hubungan antar elemen.
4. Perhatikan Syarat Fungsi: Ingat baik-baik dua syarat utama agar suatu relasi disebut fungsi.
5. Jangan Takut Bertanya: Jika ada materi yang kurang dipahami, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman.

Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam, Anda pasti akan menguasai bab relasi dan fungsi ini dengan gemilang. Selamat belajar!

>