Contoh soal matematika kelas 8 semester 1 beserta jawabannya

Membedah Tuntas Matematika Kelas 8 Semester 1: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Memasuki jenjang SMP kelas 8, mata pelajaran matematika kerap kali menghadirkan materi-materi baru yang menuntut pemahaman lebih dalam. Semester 1 di kelas 8 menjadi gerbang awal pengenalan konsep-konsep penting yang akan menjadi fondasi untuk materi selanjutnya. Artikel ini akan membekali Anda dengan berbagai contoh soal matematika kelas 8 semester 1 yang mencakup topik-topik utama, lengkap dengan pembahasan mendalam dan strategi penyelesaiannya. Diharapkan, setelah menyimak artikel ini, Anda dapat lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika.

Pentingnya Latihan Soal yang Bervariasi

Kunci utama dalam menguasai matematika adalah latihan yang konsisten dan bervariasi. Dengan mengerjakan berbagai macam soal, Anda tidak hanya terbiasa dengan format pertanyaan, tetapi juga mampu mengidentifikasi berbagai sudut pandang dalam menyelesaikan suatu masalah. Pemahaman yang kuat terhadap konsep dasar akan sangat membantu dalam menganalisis soal yang lebih kompleks.

Topik Utama Matematika Kelas 8 Semester 1

Pada semester 1, siswa kelas 8 biasanya akan mendalami beberapa topik utama, antara lain:

1. Pola Bilangan: Memahami aturan pembentukan suatu barisan bilangan, termasuk barisan aritmatika dan geometri.
2. Koordinat Kartesius: Mengenal sistem koordinat, menentukan posisi titik, serta menggambar grafik.
3. Relasi dan Fungsi: Memahami konsep relasi antara dua himpunan, serta mendefinisikan dan mengoperasikan fungsi.
4. Persamaan Garis Lurus: Menentukan persamaan garis dari berbagai informasi (dua titik, satu titik dan gradien), menggambar grafik garis lurus, serta menentukan gradien.
5. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan grafik.

Mari kita bedah contoh soal dari setiap topik ini.

>

Bagian 1: Pola Bilangan

Pola bilangan adalah urutan angka yang memiliki aturan tertentu. Dua jenis pola bilangan yang paling umum dipelajari di kelas 8 adalah barisan aritmatika dan barisan geometri.

Konsep Dasar:

• Barisan Aritmatika: Barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berturutan. Selisih ini disebut beda ($b$). Rumus suku ke-$n$: $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama.
• Barisan Geometri: Barisan bilangan yang memiliki perbandingan tetap antara dua suku berturutan. Perbandingan ini disebut rasio ($r$). Rumus suku ke-$n$: $U_n = a cdot r^n-1$, di mana $a$ adalah suku pertama.

Contoh Soal 1.1 (Barisan Aritmatika):

Tentukan suku ke-25 dari barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, …

Pembahasan:

1. Identifikasi Jenis Barisan: Perhatikan selisih antara suku-suku berurutan:

   • $7 – 3 = 4$
   • $11 – 7 = 4$
   • $15 – 11 = 4$
     Karena selisihnya tetap, ini adalah barisan aritmatika.

2. Tentukan Suku Pertama ($a$) dan Beda ($b$):

   • Suku pertama ($a$) = 3
   • Beda ($b$) = 4

3. Tentukan Suku yang Ditanyakan: Kita ingin mencari suku ke-25, jadi $n = 25$.

4. Gunakan Rumus Suku ke-$n$ Barisan Aritmatika:
   $Un = a + (n-1)b$
   $U25 = 3 + (25-1) times 4$
   $U25 = 3 + (24) times 4$
   $U25 = 3 + 96$
   $U_25 = 99$

Jawaban: Suku ke-25 dari barisan tersebut adalah 99.

Contoh Soal 1.2 (Barisan Geometri):

Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri: 2, 6, 18, 54, …

Pembahasan:

1. Identifikasi Jenis Barisan: Perhatikan perbandingan antara suku-suku berurutan:

   • $6 / 2 = 3$
   • $18 / 6 = 3$
   • $54 / 18 = 3$
     Karena perbandingannya tetap, ini adalah barisan geometri.

2. Tentukan Suku Pertama ($a$) dan Rasio ($r$):

   • Suku pertama ($a$) = 2
   • Rasio ($r$) = 3

3. Tentukan Suku yang Ditanyakan: Kita ingin mencari suku ke-6, jadi $n = 6$.

4. Gunakan Rumus Suku ke-$n$ Barisan Geometri:
   $U_n = a cdot r^n-1$
   $U_6 = 2 cdot 3^6-1$
   $U_6 = 2 cdot 3^5$
   $U_6 = 2 cdot (3 times 3 times 3 times 3 times 3)$
   $U_6 = 2 cdot 243$
   $U_6 = 486$

Jawaban: Suku ke-6 dari barisan tersebut adalah 486.

>

Bagian 2: Koordinat Kartesius

Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan posisi suatu titik pada bidang datar menggunakan dua sumbu, yaitu sumbu-x (horizontal) dan sumbu-y (vertikal).

Konsep Dasar:

• Titik pada bidang koordinat ditulis dalam bentuk pasangan berurutan $(x, y)$, di mana $x$ adalah koordinat pada sumbu-x dan $y$ adalah koordinat pada sumbu-y.
• Titik asal (origin) memiliki koordinat $(0, 0)$.
• Kuadran: Bidang koordinat terbagi menjadi empat kuadran:
  • Kuadran I: $x > 0, y > 0$
  • Kuadran II: $x < 0, y > 0$
  • Kuadran III: $x < 0, y < 0$
  • Kuadran IV: $x > 0, y < 0$

Contoh Soal 2.1:

Diketahui titik-titik $A(3, 5)$, $B(-2, 4)$, $C(-1, -6)$, dan $D(4, -3)$. Tentukan kuadran tempat titik-titik tersebut berada.

Pembahasan:

Kita akan menganalisis tanda koordinat x dan y untuk setiap titik.

• Titik A(3, 5): $x = 3$ (positif), $y = 5$ (positif). Karena keduanya positif, titik A berada di Kuadran I.
• Titik B(-2, 4): $x = -2$ (negatif), $y = 4$ (positif). Karena x negatif dan y positif, titik B berada di Kuadran II.
• Titik C(-1, -6): $x = -1$ (negatif), $y = -6$ (negatif). Karena keduanya negatif, titik C berada di Kuadran III.
• Titik D(4, -3): $x = 4$ (positif), $y = -3$ (negatif). Karena x positif dan y negatif, titik D berada di Kuadran IV.

Jawaban:

• Titik A berada di Kuadran I.
• Titik B berada di Kuadran II.
• Titik C berada di Kuadran III.
• Titik D berada di Kuadran IV.

Contoh Soal 2.2:

Gambarlah titik-titik $P(2, 3)$, $Q(-3, 1)$, dan $R(0, -4)$ pada bidang koordinat Kartesius.

Pembahasan:

Untuk menggambar titik-titik ini, kita perlu menyiapkan sebuah bidang koordinat dengan sumbu-x dan sumbu-y yang saling tegak lurus.

1. Untuk Titik P(2, 3):

   • Cari angka 2 pada sumbu-x (di sebelah kanan dari titik asal).
   • Dari angka 2 pada sumbu-x, naiklah 3 satuan ke atas (sesuai dengan nilai y yang positif).
   • Tandai titik pertemuan ini sebagai P.

2. Untuk Titik Q(-3, 1):

   • Cari angka -3 pada sumbu-x (di sebelah kiri dari titik asal).
   • Dari angka -3 pada sumbu-x, naiklah 1 satuan ke atas (sesuai dengan nilai y yang positif).
   • Tandai titik pertemuan ini sebagai Q.

3. Untuk Titik R(0, -4):

   • Cari angka 0 pada sumbu-x (ini adalah titik asal).
   • Dari titik asal (0,0), turunlah 4 satuan ke bawah (sesuai dengan nilai y yang negatif).
   • Tandai titik pertemuan ini sebagai R.

(Catatan: Pembaca perlu membayangkan atau menggambar bidang koordinatnya sendiri untuk melihat visualisasi titik-titik ini. Penjelasan di atas adalah instruksi untuk menggambarnya.)

Jawaban: Titik-titik P, Q, dan R digambarkan pada posisi yang sesuai dengan koordinatnya pada bidang koordinat Kartesius.

>

Bagian 3: Relasi dan Fungsi

Relasi adalah hubungan antara dua himpunan. Fungsi adalah jenis relasi khusus di mana setiap elemen pada himpunan pertama (domain) berpasangan tepat satu dengan elemen pada himpunan kedua (kodomain).

Konsep Dasar:

• Himpunan A: Domain (daerah asal)
• Himpunan B: Kodomain (daerah kawan)
• Daerah Hasil (Range): Himpunan bagian dari kodomain yang anggotanya berpasangan dengan elemen domain.
• Relasi: Dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, atau tabel.
• Fungsi: Setiap anggota domain harus memiliki pasangan, dan setiap anggota domain hanya boleh memiliki satu pasangan.

Contoh Soal 3.1:

Diketahui himpunan $A = 1, 2, 3$ dan himpunan $B = a, b, c, d$.
Relasi "huruf pertama dari angka" dari himpunan A ke himpunan B. Sajikan relasi ini dalam bentuk himpunan pasangan berurutan.

Pembahasan:

Kita perlu memikirkan "huruf pertama dari angka" yang dapat dihubungkan dengan anggota himpunan A. Angka-angka di himpunan A adalah 1, 2, 3.

• Angka 1, jika ditulis dalam huruf adalah "satu". Huruf pertamanya adalah ‘s’. Namun, ‘s’ tidak ada di himpunan B.
• Angka 2, jika ditulis dalam huruf adalah "dua". Huruf pertamanya adalah ‘d’. ‘d’ ada di himpunan B.
• Angka 3, jika ditulis dalam huruf adalah "tiga". Huruf pertamanya adalah ‘t’. Namun, ‘t’ tidak ada di himpunan B.

Jadi, relasi yang bisa terbentuk adalah hanya dari angka 2 ke huruf ‘d’.

Himpunan Pasangan Berurutan: $(2, d)$

Apakah ini sebuah fungsi?
Tidak, ini bukan sebuah fungsi karena tidak semua elemen domain (1 dan 3) memiliki pasangan di kodomain.

Contoh Soal 3.2:

Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 1$.
Tentukan:
a. Nilai $f(3)$
b. Nilai $x$ jika $f(x) = 7$

Pembahasan:

a. Menentukan nilai $f(3)$:
Ini berarti kita mengganti $x$ dengan 3 pada rumus fungsi.
$f(x) = 2x – 1$
$f(3) = 2(3) – 1$
$f(3) = 6 – 1$
$f(3) = 5$

b. Menentukan nilai $x$ jika $f(x) = 7$:
Ini berarti kita menyamakan hasil fungsi dengan 7 dan mencari nilai $x$.
$f(x) = 7$
$2x – 1 = 7$
Tambahkan 1 pada kedua ruas:
$2x = 7 + 1$
$2x = 8$
Bagi kedua ruas dengan 2:
$x = 8 / 2$
$x = 4$

Jawaban:
a. Nilai $f(3)$ adalah 5.
b. Nilai $x$ jika $f(x) = 7$ adalah 4.

>

Bagian 4: Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah persamaan aljabar yang jika digambarkan pada bidang koordinat Kartesius akan membentuk sebuah garis lurus.

Konsep Dasar:

• Bentuk Umum: $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) dan $c$ adalah titik potong sumbu-y (ketika $x=0$).
• Gradien ($m$): Perubahan nilai $y$ dibagi dengan perubahan nilai $x$. Jika diketahui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$, maka $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$.
• Persamaan Garis Melalui Satu Titik dan Gradien: $y – y_1 = m(x – x_1)$.
• Persamaan Garis Melalui Dua Titik: Cari gradiennya terlebih dahulu, lalu gunakan salah satu titik dan gradien tersebut untuk mencari persamaan garisnya.

Contoh Soal 4.1:

Tentukan gradien dari garis yang melalui titik $A(2, 5)$ dan $B(6, 13)$.

Pembahasan:

Kita menggunakan rumus gradien jika diketahui dua titik.
Titik 1: $(x_1, y_1) = (2, 5)$
Titik 2: $(x_2, y_2) = (6, 13)$

Rumus gradien: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$
$m = frac13 – 56 – 2$
$m = frac84$
$m = 2$

Jawaban: Gradien garis tersebut adalah 2.

Contoh Soal 4.2:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(3, -2)$ dengan gradien $-frac12$.

Pembahasan:

Kita memiliki satu titik dan gradiennya. Gunakan rumus persamaan garis melalui satu titik dan gradien.
Titik: $(x_1, y_1) = (3, -2)$
Gradien: $m = -frac12$

Rumus: $y – y_1 = m(x – x_1)$
$y – (-2) = -frac12(x – 3)$
$y + 2 = -frac12(x – 3)$

Untuk menghilangkan pecahan, kalikan kedua ruas dengan 2:
$2(y + 2) = 2 times (-frac12)(x – 3)$
$2y + 4 = -1(x – 3)$
$2y + 4 = -x + 3$

Susun ulang persamaan menjadi bentuk umum $y = mx + c$ atau $Ax + By + C = 0$.
Pindahkan $-x$ ke ruas kiri:
$x + 2y + 4 = 3$
Pindahkan 3 ke ruas kiri:
$x + 2y + 4 – 3 = 0$
$x + 2y + 1 = 0$

Atau dalam bentuk $y = mx + c$:
$2y = -x + 3 – 4$
$2y = -x – 1$
Bagi kedua ruas dengan 2:
$y = -frac12x – frac12$

Jawaban: Persamaan garis tersebut adalah $x + 2y + 1 = 0$ atau $y = -frac12x – frac12$.

>

Bagian 5: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang saling terkait. Solusi dari SPLDV adalah pasangan nilai variabel yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.

Konsep Dasar:

• Variabel: Biasanya dilambangkan dengan $x$ dan $y$.
• Persamaan Linear Dua Variabel: Persamaan yang kedua variabelnya berpangkat satu, contohnya $2x + 3y = 10$.
• Metode Penyelesaian:
  • Metode Substitusi: Mengganti salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya.
  • Metode Eliminasi: Menyamakan koefisien salah satu variabel pada kedua persamaan, lalu menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan agar salah satu variabel hilang.
  • Metode Grafik: Menggambarkan kedua persamaan pada bidang koordinat. Titik potong kedua garis adalah solusinya.

Contoh Soal 5.1 (Metode Substitusi):

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut menggunakan metode substitusi:

1. $x + y = 5$
2. $2x – y = 4$

Pembahasan:

1. Ubah salah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain.
   Dari persamaan (1), kita bisa ubah menjadi $y = 5 – x$.

2. Substitusikan bentuk variabel tersebut ke persamaan lainnya.
   Masukkan $y = 5 – x$ ke persamaan (2):
   $2x – (5 – x) = 4$

3. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai satu variabel.
   $2x – 5 + x = 4$
   $3x – 5 = 4$
   $3x = 4 + 5$
   $3x = 9$
   $x = 3$

4. Substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.
   Masukkan $x = 3$ ke persamaan $y = 5 – x$:
   $y = 5 – 3$
   $y = 2$

5. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
   Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (3, 2)$.

Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $(3, 2)$.

Contoh Soal 5.2 (Metode Eliminasi):

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut menggunakan metode eliminasi:

1. $3x + 2y = 16$
2. $2x + 3y = 19$

Pembahasan:

1. Pilih salah satu variabel yang akan dieliminasi. Mari kita eliminasi variabel $x$.

2. Samakan koefisien variabel yang dipilih.
   Untuk menyamakan koefisien $x$, kita kalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 3.
   Persamaan (1) dikali 2: $(3x + 2y = 16) times 2 implies 6x + 4y = 32$ (Persamaan 3)
   Persamaan (2) dikali 3: $(2x + 3y = 19) times 3 implies 6x + 9y = 57$ (Persamaan 4)

3. Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.
   Karena koefisien $x$ pada Persamaan 3 dan 4 sama-sama positif (6), kita kurangkan Persamaan 4 dengan Persamaan 3:
   $(6x + 9y = 57)$
   $(6x + 4y = 32)$
   —————– (dikurangi)
   $5y = 25$

4. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
   $5y = 25$
   $y = 25 / 5$
   $y = 5$

5. Substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.
   Masukkan $y = 5$ ke persamaan (1):
   $3x + 2(5) = 16$
   $3x + 10 = 16$
   $3x = 16 – 10$
   $3x = 6$
   $x = 6 / 3$
   $x = 2$

6. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
   Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (2, 5)$.

Jawaban: Himpunan penyelesaiannya adalah $(2, 5)$.

>

Penutup

Mempelajari matematika memang membutuhkan ketekunan dan latihan. Dengan memahami konsep dasar dari setiap topik dan rajin mengerjakan contoh soal seperti yang telah dibahas, diharapkan Anda dapat membangun pondasi matematika yang kuat. Ingatlah bahwa setiap soal memiliki strategi penyelesaiannya sendiri. Jangan ragu untuk mencoba berbagai metode dan selalu periksa kembali jawaban Anda. Selamat belajar dan teruslah berlatih!

>