Menaklukkan Dunia Himpunan: Panduan Lengkap Contoh Soal Matematika Kelas 7 Semester 1
Himpunan, sebuah konsep fundamental dalam matematika, seringkali menjadi gerbang awal bagi siswa kelas 7 untuk memahami bagaimana objek-objek dikelompokkan dan diorganisir. Memahami himpunan bukan hanya sekadar menghafal definisi, tetapi juga tentang melatih kemampuan berpikir logis, analitis, dan spasial. Di semester pertama kelas 7, materi himpunan menjadi salah satu topik krusial yang akan menjadi dasar bagi pemahaman konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang berikutnya.
Artikel ini akan membawa Anda menyelami dunia himpunan melalui berbagai contoh soal yang relevan untuk siswa kelas 7 semester 1. Kita akan membahas konsep dasar, operasi himpunan, hingga penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Dengan pemahaman yang kuat tentang himpunan, Anda akan siap menghadapi berbagai tantangan matematika dengan percaya diri.
Bagian 1: Memahami Konsep Dasar Himpunan
Sebelum kita melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang definisi dan cara menyatakan himpunan.
Definisi Himpunan: Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen.
Cara Menyatakan Himpunan:
-
Mendaftar Anggotanya (Enumerasi): Menuliskan semua anggota himpunan di dalam kurung kurawal
- Contoh: Himpunan A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5. Maka, A = 1, 2, 3, 4.
-
Menggunakan Deskripsi: Menuliskan syarat atau deskripsi dari anggota himpunan.
- Contoh: Himpunan B adalah himpunan semua huruf vokal. Maka, B = huruf vokal.
-
Menggunakan Notasi Pembentuk Himpunan: Menuliskan rumus atau syarat keanggotaan himpunan.
- Contoh: Himpunan C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10. Maka, C = x .
Jenis-jenis Himpunan:
- Himpunan Kosong (∅ atau ): Himpunan yang tidak memiliki anggota.
- Himpunan Semesta (S): Himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan.
- Himpunan Bagian (⊆): Jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, maka A adalah himpunan bagian dari B.
- Himpunan Sama (=): Jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A, maka A sama dengan B.
Banyaknya Anggota Himpunan (Kardinalitas): Banyaknya anggota suatu himpunan dilambangkan dengan n(A).
>
Bagian 2: Contoh Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Himpunan
Mari kita mulai dengan beberapa contoh soal yang menguji pemahaman Anda tentang konsep dasar himpunan.
Contoh Soal 1:
Manakah dari kumpulan berikut yang merupakan himpunan?
a. Kumpulan siswa yang tinggi di kelas 7A.
b. Kumpulan warna pelangi.
c. Kumpulan buah-buahan yang enak.
d. Kumpulan angka cantik.
Pembahasan:
Untuk menentukan apakah sebuah kumpulan merupakan himpunan, kita perlu memastikan bahwa anggotanya dapat didefinisikan dengan jelas.
- a. "Siswa yang tinggi" bersifat relatif dan tidak memiliki ukuran pasti. Ketinggian yang dianggap "tinggi" bisa berbeda bagi setiap orang. Oleh karena itu, ini bukan himpunan.
- b. "Kumpulan warna pelangi" memiliki anggota yang jelas, yaitu merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu. Ini adalah himpunan.
- c. "Buah-buahan yang enak" bersifat subjektif. Apa yang dianggap enak oleh satu orang belum tentu enak bagi orang lain. Oleh karena itu, ini bukan himpunan.
- d. "Angka cantik" sangat subjektif dan tidak memiliki kriteria yang jelas. Ini bukan himpunan.
Jawaban: b. Kumpulan warna pelangi.
Contoh Soal 2:
Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar anggotanya!
a. Himpunan huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA".
b. Himpunan bilangan cacah kurang dari 7.
c. Himpunan kelipatan 3 yang kurang dari 20.
Pembahasan:
- a. Himpunan huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA" adalah M, A, T, E, I, K. Perhatikan bahwa huruf yang sama hanya ditulis sekali.
- b. Bilangan cacah dimulai dari 0. Jadi, himpunan bilangan cacah kurang dari 7 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- c. Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … . Kelipatan 3 yang kurang dari 20 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Jawaban:
a. M, A, T, E, I, K
b. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
c. 3, 6, 9, 12, 15, 18
Contoh Soal 3:
Diketahui himpunan P = x . Tentukan banyak anggota himpunan P!
Pembahasan:
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima yang genap hanya ada satu, yaitu angka 2.
Jadi, himpunan P = 2.
Banyak anggota himpunan P, atau n(P), adalah 1.
Jawaban: n(P) = 1.
Contoh Soal 4:
Diketahui himpunan A = 1, 2, 3, 4, 5 dan himpunan B = 3, 4, 5, 6, 7.
Manakah pernyataan berikut yang benar?
a. 1 ∈ A
b. 6 ∉ A
c. 3 ∉ B
d. 7 ∈ A
Pembahasan:
Simbol ‘∈’ berarti "anggota dari", dan ‘∉’ berarti "bukan anggota dari".
- a. 1 adalah anggota dari himpunan A. Pernyataan "1 ∈ A" benar.
- b. 6 bukan anggota dari himpunan A. Pernyataan "6 ∉ A" benar.
- c. 3 adalah anggota dari himpunan B. Pernyataan "3 ∉ B" salah.
- d. 7 bukan anggota dari himpunan A. Pernyataan "7 ∈ A" salah.
Jawaban: a dan b.
>
Bagian 3: Operasi pada Himpunan
Setelah menguasai konsep dasar, kita akan beralih ke operasi-operasi yang dapat dilakukan pada himpunan. Operasi-operasi ini memungkinkan kita untuk menggabungkan, mencari irisan, atau mencari selisih antara dua himpunan atau lebih.
1. Irisan (Intersection) – ∩
Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari A dan anggota dari B.
Ditulis: A ∩ B = x .
2. Gabungan (Union) – ∪
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari A atau anggota dari B (atau keduanya).
Ditulis: A ∪ B = x ∈ A atau x ∈ B.
3. Selisih (Difference) – –
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Ditulis: A – B = x ∈ A dan x ∉ B.
Perhatikan bahwa A – B umumnya tidak sama dengan B – A.
4. Komplemen (Complement) – A’ atau Aᶜ
Komplemen dari himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota S tetapi bukan anggota A.
Ditulis: A’ = x ∈ S dan x ∉ A.
>
Bagian 4: Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Himpunan
Mari kita terapkan konsep operasi himpunan melalui contoh-contoh soal.
Contoh Soal 5:
Diketahui himpunan semesta S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Himpunan A = 1, 2, 3, 4, 5
Himpunan B = 4, 5, 6, 7
Tentukan:
a. A ∩ B
b. A ∪ B
c. A – B
d. B – A
e. A’
f. B’
Pembahasan:
-
a. A ∩ B: Anggota yang ada di A dan di B adalah 4 dan 5.
A ∩ B = 4, 5. -
b. A ∪ B: Gabungkan semua anggota A dan B, hilangkan yang sama.
A ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. -
c. A – B: Anggota A yang tidak ada di B. Anggota A adalah 1, 2, 3, 4, 5. Anggota B adalah 4, 5, 6, 7. Anggota A yang tidak ada di B adalah 1, 2, dan 3.
A – B = 1, 2, 3. -
d. B – A: Anggota B yang tidak ada di A. Anggota B adalah 4, 5, 6, 7. Anggota A adalah 1, 2, 3, 4, 5. Anggota B yang tidak ada di A adalah 6 dan 7.
B – A = 6, 7. -
e. A’: Anggota S yang tidak ada di A. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. A = 1, 2, 3, 4, 5. Anggota S yang tidak ada di A adalah 6, 7, 8, 9, dan 10.
A’ = 6, 7, 8, 9, 10. -
f. B’: Anggota S yang tidak ada di B. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. B = 4, 5, 6, 7. Anggota S yang tidak ada di B adalah 1, 2, 3, 8, 9, dan 10.
B’ = 1, 2, 3, 8, 9, 10.
Jawaban:
a. 4, 5
b. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
c. 1, 2, 3
d. 6, 7
e. 6, 7, 8, 9, 10
f. 1, 2, 3, 8, 9, 10
Contoh Soal 6:
Diketahui himpunan K = bilangan prima kurang dari 15 dan himpunan L = bilangan ganjil kurang dari 15.
Tentukan K ∪ L.
Pembahasan:
Pertama, kita daftar anggota dari masing-masing himpunan.
- K = 2, 3, 5, 7, 11, 13 (Bilangan prima kurang dari 15)
- L = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 (Bilangan ganjil kurang dari 15)
Sekarang, kita cari gabungan K dan L. Gabungkan semua anggota dari K dan L, lalu hilangkan duplikasi.
K ∪ L = 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Jawaban: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Contoh Soal 7:
Diketahui n(S) = 40, n(A) = 25, n(B) = 20, dan n(A ∩ B) = 10.
Tentukan:
a. n(A ∪ B)
b. n(A – B)
c. n(B – A)
d. n(A’)
e. n(B’)
Pembahasan:
Kita akan menggunakan rumus-rumus terkait kardinalitas himpunan:
- Rumus Gabungan: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
- Rumus Selisih: n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
- Rumus Komplemen: n(A’) = n(S) – n(A)
a. n(A ∪ B):
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 20 – 10
n(A ∪ B) = 35
b. n(A – B):
n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
n(A – B) = 25 – 10
n(A – B) = 15
c. n(B – A):
n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
n(B – A) = 20 – 10
n(B – A) = 10
d. n(A’):
n(A’) = n(S) – n(A)
n(A’) = 40 – 25
n(A’) = 15
e. n(B’):
n(B’) = n(S) – n(B)
n(B’) = 40 – 20
n(B’) = 20
Jawaban:
a. n(A ∪ B) = 35
b. n(A – B) = 15
c. n(B – A) = 10
d. n(A’) = 15
e. n(B’) = 20
>
Bagian 5: Penerapan Himpunan dalam Diagram Venn
Diagram Venn adalah cara visual untuk merepresentasikan hubungan antar himpunan. Persegi panjang mewakili himpunan semesta (S), dan lingkaran atau bentuk tertutup lainnya di dalamnya mewakili himpunan-himpunan. Irisan himpunan digambarkan sebagai area yang tumpang tindih antara lingkaran.
Contoh Soal 8:
Dari 40 siswa di kelas 7A, diketahui 25 siswa suka membaca, 20 siswa suka menulis, dan 10 siswa suka keduanya. Gambarlah diagram Venn dan tentukan:
a. Banyak siswa yang hanya suka membaca.
b. Banyak siswa yang hanya suka menulis.
c. Banyak siswa yang tidak suka keduanya.
Pembahasan:
Misalkan:
S = Himpunan semua siswa kelas 7A, n(S) = 40.
M = Himpunan siswa yang suka membaca, n(M) = 25.
N = Himpunan siswa yang suka menulis, n(N) = 20.
M ∩ N = Himpunan siswa yang suka keduanya, n(M ∩ N) = 10.
Menggambar Diagram Venn:
- Gambar persegi panjang untuk S.
- Gambar dua lingkaran yang tumpang tindih di dalam persegi panjang, satu untuk M dan satu untuk N.
- Isi bagian yang tumpang tindih (M ∩ N) dengan angka 10.
- Hitung siswa yang hanya suka membaca: n(M) – n(M ∩ N) = 25 – 10 = 15. Tulis angka 15 di bagian lingkaran M yang tidak tumpang tindih.
- Hitung siswa yang hanya suka menulis: n(N) – n(M ∩ N) = 20 – 10 = 10. Tulis angka 10 di bagian lingkaran N yang tidak tumpang tindih.
- Jumlah total siswa yang suka membaca atau menulis atau keduanya adalah n(M ∪ N) = 15 (hanya membaca) + 10 (keduanya) + 10 (hanya menulis) = 35.
- Hitung siswa yang tidak suka keduanya: n(S) – n(M ∪ N) = 40 – 35 = 5. Tulis angka 5 di luar kedua lingkaran tetapi di dalam persegi panjang S.
Jawaban:
a. Banyak siswa yang hanya suka membaca = 15 orang.
b. Banyak siswa yang hanya suka menulis = 10 orang.
c. Banyak siswa yang tidak suka keduanya = 5 orang.
Contoh Soal 9:
Dalam sebuah survei terhadap 50 orang mengenai kegemaran olahraga, diperoleh data sebagai berikut: 30 orang suka sepak bola, 25 orang suka basket, dan 15 orang tidak suka keduanya.
Tentukan banyak orang yang suka kedua olahraga tersebut!
Pembahasan:
Misalkan:
S = Himpunan semua orang yang disurvei, n(S) = 50.
F = Himpunan orang yang suka sepak bola, n(F) = 30.
B = Himpunan orang yang suka basket, n(B) = 25.
Orang yang tidak suka keduanya = 15.
Ini berarti jumlah orang yang suka sepak bola atau basket atau keduanya adalah:
n(F ∪ B) = n(S) – (jumlah orang yang tidak suka keduanya)
n(F ∪ B) = 50 – 15
n(F ∪ B) = 35
Sekarang kita gunakan rumus gabungan:
n(F ∪ B) = n(F) + n(B) – n(F ∩ B)
35 = 30 + 25 – n(F ∩ B)
35 = 55 – n(F ∩ B)
n(F ∩ B) = 55 – 35
n(F ∩ B) = 20
Jadi, banyak orang yang suka kedua olahraga tersebut adalah 20 orang.
Jawaban: 20 orang.
>
Kesimpulan
Mempelajari himpunan di kelas 7 semester 1 adalah langkah penting dalam membangun fondasi matematika yang kuat. Dengan memahami konsep dasar, operasi himpunan, dan penerapannya melalui diagram Venn, Anda akan dapat memecahkan berbagai masalah matematika dengan lebih efektif.
Teruslah berlatih dengan berbagai macam soal, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada kesulitan, dan ingatlah bahwa pemahaman yang baik tentang himpunan akan membuka pintu menuju konsep-konsep matematika yang lebih menantang di masa depan. Selamat belajar dan menaklukkan dunia himpunan!
>
