Contoh soal matematika kelas 8 semester 1 beserta konci jawaban

Menguasai Matematika Kelas 8 Semester 1: Kumpulan Contoh Soal Lengkap dengan Kunci Jawaban

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun dengan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang terarah, materi ini dapat menjadi lebih mudah dicerna. Khususnya di kelas 8 semester 1, ada beberapa topik fundamental yang menjadi pondasi penting untuk pembelajaran selanjutnya. Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa contoh soal dari topik-topik tersebut, lengkap dengan penjelasan dan kunci jawabannya, untuk membantu siswa kelas 8 mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester, hingga penilaian akhir semester.

Topik Utama Matematika Kelas 8 Semester 1:

Pada semester 1 kelas 8, beberapa topik utama yang biasanya dibahas meliputi:

1. Pola Bilangan: Mengenal berbagai jenis pola bilangan, menentukan suku ke-n, dan mengidentifikasi aturan suatu pola.
2. Bentuk Aljabar: Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bentuk aljabar, serta penyederhanaan bentuk aljabar.
3. Persamaan Linear Satu Variabel: Memahami konsep persamaan, menyelesaikan persamaan linear satu variabel, dan menerapkannya dalam soal cerita.
4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel: Memahami konsep pertidaksamaan, menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel, dan menerapkannya dalam soal cerita.
5. Himpunan: Konsep himpunan, operasi pada himpunan (irisan, gabungan, selisih, komplemen), dan penerapannya dalam diagram Venn.

Mari kita bedah contoh-contoh soal dari setiap topik ini.

>

1. Pola Bilangan

Pola bilangan adalah urutan angka yang memiliki aturan tertentu. Memahami pola bilangan membantu kita memprediksi angka selanjutnya dalam urutan tersebut.

Contoh Soal 1:

Perhatikan pola bilangan berikut: 3, 7, 11, 15, …

a. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan tersebut.
b. Tentukan rumus suku ke-n dari pola bilangan tersebut.

Pembahasan dan Penyelesaian:

a. Menganalisis Pola:
Untuk menemukan aturan pola, kita perhatikan selisih antara suku-suku yang berurutan:

• 7 – 3 = 4
• 11 – 7 = 4

• 15 – 11 = 4
  Terlihat bahwa selisih antara setiap suku berurutan adalah konstan, yaitu 4. Ini menunjukkan bahwa pola bilangan ini adalah barisan aritmetika dengan beda (selisih) $b = 4$.

  Menentukan Tiga Suku Berikutnya:
  Untuk mencari suku berikutnya, kita tambahkan beda (4) ke suku terakhir:

• Suku ke-5 = Suku ke-4 + 4 = 15 + 4 = 19
• Suku ke-6 = Suku ke-5 + 4 = 19 + 4 = 23

• Suku ke-7 = Suku ke-6 + 4 = 23 + 4 = 27

  Jadi, tiga suku berikutnya adalah 19, 23, dan 27.

b. Menentukan Rumus Suku ke-n:
Rumus umum untuk suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:
$U_n = a + (n-1)b$
dimana:

• $U_n$ adalah suku ke-n
• $a$ adalah suku pertama
• $n$ adalah nomor suku

• $b$ adalah beda (selisih)

  Dari pola soal, kita tahu:

• Suku pertama ($a$) = 3

• Beda ($b$) = 4

  Substitusikan nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumus:
  $U_n = 3 + (n-1)4$
  $U_n = 3 + 4n – 4$
  $U_n = 4n – 1$

  Untuk memverifikasi, mari kita coba masukkan nilai $n$ untuk beberapa suku awal:

• Untuk $n=1$, $U_1 = 4(1) – 1 = 4 – 1 = 3$ (Benar)
• Untuk $n=2$, $U_2 = 4(2) – 1 = 8 – 1 = 7$ (Benar)

• Untuk $n=3$, $U_3 = 4(3) – 1 = 12 – 1 = 11$ (Benar)

  Jadi, rumus suku ke-n dari pola bilangan tersebut adalah $U_n = 4n – 1$.

Kunci Jawaban Soal 1:
a. Tiga suku berikutnya adalah 19, 23, 27.
b. Rumus suku ke-n adalah $U_n = 4n – 1$.

>

2. Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar melibatkan variabel (huruf) dan konstanta (angka) yang dihubungkan oleh operasi matematika. Memahami operasi pada bentuk aljabar sangat penting untuk memecahkan berbagai masalah.

Contoh Soal 2:

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
a. $5x + 3y – 2x + 7y$
b. $(2a + 3b) – (a – 4b)$
c. $3(p – 2q) + 2(4p + q)$
d. $(x+2)(x+3)$

Pembahasan dan Penyelesaian:

a. Menyederhanakan Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis:
Suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama. Dalam ekspresi ini, suku yang mengandung $x$ adalah sejenis, dan suku yang mengandung $y$ adalah sejenis.
$5x + 3y – 2x + 7y$
Kelompokkan suku-suku sejenis:
$(5x – 2x) + (3y + 7y)$
Jumlahkan atau kurangi koefisien dari suku-suku sejenis:
$3x + 10y$

b. Mengurangi Bentuk Aljabar:
Ketika mengurangi bentuk aljabar, kita harus mendistribusikan tanda negatif ke setiap suku dalam tanda kurung kedua.
$(2a + 3b) – (a – 4b)$
$= 2a + 3b – a + 4b$ (Perhatikan perubahan tanda $-a$ menjadi $+a$ dan $-4b$ menjadi $+4b$)
Kelompokkan suku-suku sejenis:
$(2a – a) + (3b + 4b)$
$= a + 7b$

c. Mendistribusikan dan Menyederhanakan:
Gunakan sifat distributif untuk mengalikan konstanta dengan setiap suku di dalam tanda kurung.
$3(p – 2q) + 2(4p + q)$
$= (3 times p) + (3 times -2q) + (2 times 4p) + (2 times q)$
$= 3p – 6q + 8p + 2q$
Kelompokkan suku-suku sejenis:
$(3p + 8p) + (-6q + 2q)$
$= 11p – 4q$

d. Mengalikan Dua Bentuk Binomial (Metode FOIL):
Metode FOIL (First, Outer, Inner, Last) adalah cara yang umum untuk mengalikan dua binomial.
$(x+2)(x+3)$

• First: Kalikan suku pertama dari setiap binomial: $x times x = x^2$
• Outer: Kalikan suku luar dari kedua binomial: $x times 3 = 3x$
• Inner: Kalikan suku dalam dari kedua binomial: $2 times x = 2x$

• Last: Kalikan suku terakhir dari setiap binomial: $2 times 3 = 6$

  Jumlahkan hasil dari keempat langkah tersebut:
  $x^2 + 3x + 2x + 6$
  Sederhanakan dengan menggabungkan suku-suku sejenis:
  $x^2 + 5x + 6$

Kunci Jawaban Soal 2:
a. $3x + 10y$
b. $a + 7b$
c. $11p – 4q$
d. $x^2 + 5x + 6$

>

3. Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi 1. Tujuannya adalah untuk mencari nilai variabel yang membuat persamaan tersebut benar.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai $x$ dari persamaan berikut:
a. $2x + 5 = 11$
b. $3(x – 1) = 2x + 4$
c. $fracx2 – 3 = 1$

Pembahasan dan Penyelesaian:

Prinsip dasar dalam menyelesaikan persamaan linear adalah menjaga keseimbangan persamaan. Apa yang dilakukan di satu sisi harus dilakukan juga di sisi lain.

a. Menyelesaikan Persamaan Dasar:
$2x + 5 = 11$
Langkah 1: Kurangi kedua sisi dengan 5 untuk mengisolasi suku yang mengandung $x$.
$2x + 5 – 5 = 11 – 5$
$2x = 6$
Langkah 2: Bagi kedua sisi dengan 2 untuk mendapatkan nilai $x$.
$frac2x2 = frac62$
$x = 3$

Untuk memeriksa, substitusikan $x=3$ ke persamaan awal: $2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$. Benar.

b. Menyelesaikan Persamaan dengan Tanda Kurung:
$3(x – 1) = 2x + 4$
Langkah 1: Distribusikan angka 3 ke dalam tanda kurung.
$3x – 3 = 2x + 4$
Langkah 2: Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain. Kurangi kedua sisi dengan $2x$.
$3x – 2x – 3 = 2x – 2x + 4$
$x – 3 = 4$
Langkah 3: Tambahkan kedua sisi dengan 3 untuk mengisolasi $x$.
$x – 3 + 3 = 4 + 3$
$x = 7$

Untuk memeriksa, substitusikan $x=7$ ke persamaan awal:
Sisi kiri: $3(7 - 1) = 3(6) = 18$
Sisi kanan: $2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$. Benar.

c. Menyelesaikan Persamaan dengan Pecahan:
$fracx2 – 3 = 1$
Langkah 1: Tambahkan kedua sisi dengan 3 untuk mengisolasi suku yang mengandung $x$.
$fracx2 – 3 + 3 = 1 + 3$
$fracx2 = 4$
Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk mendapatkan nilai $x$.
$fracx2 times 2 = 4 times 2$
$x = 8$

Untuk memeriksa, substitusikan $x=8$ ke persamaan awal: $frac82 - 3 = 4 - 3 = 1$. Benar.

Kunci Jawaban Soal 3:
a. $x = 3$
b. $x = 7$
c. $x = 8$

>

4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel mirip dengan persamaan, namun menggunakan simbol perbandingan seperti $<$, $>$, $le$, atau $ge$. Solusinya biasanya berupa rentang nilai.

Contoh Soal 4:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dan gambarkan pada garis bilangan:
a. $3x – 2 > 7$
b. $2(x + 1) le 4x + 6$

Pembahasan dan Penyelesaian:

Prinsip menyelesaikan pertidaksamaan mirip dengan persamaan, namun ada satu aturan penting: jika kedua sisi dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, maka arah simbol pertidaksamaan harus dibalik.

a. Menyelesaikan Pertidaksamaan Dasar:
$3x – 2 > 7$
Langkah 1: Tambahkan kedua sisi dengan 2.
$3x – 2 + 2 > 7 + 2$
$3x > 9$
Langkah 2: Bagi kedua sisi dengan 3. Karena 3 adalah bilangan positif, arah simbol pertidaksamaan tetap sama.
$frac3x3 > frac93$
$x > 3$

**Himpunan Penyelesaian:** Himpunan penyelesaian adalah semua bilangan real yang lebih besar dari 3. Dalam notasi himpunan: $ x in mathbbR, x > 3$.

**Menggambar pada Garis Bilangan:**
Buat garis bilangan. Tandai angka 3. Karena $x > 3$ (tidak termasuk 3), gunakan lingkaran kosong pada angka 3. Arahkan panah ke kanan dari angka 3 untuk menunjukkan semua nilai yang lebih besar dari 3.

```
<----|----|----|----|----|----|----|----|---->
   -1    0    1    2    3    4    5    6    7
                       O----->
```

b. Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan Tanda Kurung:
$2(x + 1) le 4x + 6$
Langkah 1: Distribusikan 2 ke dalam tanda kurung.
$2x + 2 le 4x + 6$
Langkah 2: Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain. Kurangi kedua sisi dengan $2x$.
$2x – 2x + 2 le 4x – 2x + 6$
$2 le 2x + 6$
Langkah 3: Kurangi kedua sisi dengan 6.
$2 – 6 le 2x + 6 – 6$
$-4 le 2x$
Langkah 4: Bagi kedua sisi dengan 2. Karena 2 adalah bilangan positif, arah simbol pertidaksamaan tetap sama.
$frac-42 le frac2x2$
$-2 le x$

Ini sama dengan $x ge -2$.

**Himpunan Penyelesaian:** Himpunan penyelesaian adalah semua bilangan real yang lebih besar dari atau sama dengan -2. Dalam notasi himpunan: $ x in mathbbR, x ge -2$.

**Menggambar pada Garis Bilangan:**
Buat garis bilangan. Tandai angka -2. Karena $x ge -2$ (termasuk -2), gunakan lingkaran penuh (tertutup) pada angka -2. Arahkan panah ke kanan dari angka -2 untuk menunjukkan semua nilai yang lebih besar dari atau sama dengan -2.

```
<----|----|----|----|----|----|----|----|---->
  -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4
                       ●------------>
```

Kunci Jawaban Soal 4:
a. Himpunan penyelesaian: $x $. Garis bilangan dengan lingkaran kosong di 3 dan panah ke kanan.
b. Himpunan penyelesaian: $ x in mathbbR, x ge -2$. Garis bilangan dengan lingkaran penuh di -2 dan panah ke kanan.

>

5. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Materi ini meliputi notasi himpunan, operasi himpunan, dan penerapannya.

Contoh Soal 5:

Diketahui himpunan $A = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, $B = 2, 4, 6, 8$, dan $C = 1, 3, 5, 7$.
Tentukan:
a. $A cup B$ (Gabungan A dan B)
b. $A cap C$ (Irisan A dan C)
c. $B – C$ (Selisih B dan C)
d. Gambarkan diagram Venn untuk himpunan A, B, dan C.

Pembahasan dan Penyelesaian:

a. Gabungan (Union) $A cup B$:
Gabungan dua himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari salah satu atau kedua himpunan tersebut.
$A = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
$B = 2, 4, 6, 8$
$A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8$
(Anggota yang sama hanya ditulis sekali).

b. Irisan (Intersection) $A cap C$:
Irisan dua himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan (sama) dari kedua himpunan tersebut.
$A = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
$C = 1, 3, 5, 7$
$A cap C = 1, 3, 5$
(Anggota yang sama adalah 1, 3, dan 5).

c. Selisih (Difference) $B – C$:
Selisih himpunan B dan C adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota B tetapi bukan anggota C.
$B = 2, 4, 6, 8$
$C = 1, 3, 5, 7$
Anggota B yang tidak ada di C adalah 2, 4, 6, dan 8.
$B – C = 2, 4, 6, 8$
(Dalam kasus ini, tidak ada anggota B yang merupakan anggota C, sehingga $B-C=B$).

d. Diagram Venn:
Diagram Venn adalah cara visual untuk merepresentasikan hubungan antar himpunan. Kita perlu mengidentifikasi irisan-irisan yang ada terlebih dahulu.

*   **Irisan tiga himpunan ($A cap B cap C$):** Tidak ada anggota yang sama di antara ketiga himpunan. Daerah ini kosong.
*   **Irisan dua himpunan:**
    *   $A cap B = 2, 4, 6$ (Anggota persekutuan A dan B)
    *   $A cap C = 1, 3, 5$ (Anggota persekutuan A dan C)
    *   $B cap C$: Tidak ada anggota persekutuan antara B dan C.
*   **Anggota tunggal di setiap himpunan:**
    *   Anggota A saja: $A - (B cup C) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = emptyset$ (Kosong).
    *   Anggota B saja: $B - (A cup C) = 2, 4, 6, 8 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 = 8$
    *   Anggota C saja: $C - (A cup B) = 1, 3, 5, 7 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 7$

**Menggambar Diagram Venn:**
Buat tiga lingkaran yang saling tumpang tindih (mewakili A, B, dan C). Tentukan daerah irisan yang sudah dihitung:

*   Daerah yang hanya milik A: Kosong.
*   Daerah yang hanya milik B: 8.
*   Daerah yang hanya milik C: 7.
*   Daerah yang merupakan irisan A dan B (tetapi bukan C): $A cap B$ ada 2, 4, 6. Kita perlu periksa apakah ada di C. 2 tidak di C, 4 tidak di C, 6 tidak di C. Jadi, daerah ini adalah 2, 4, 6.
*   Daerah yang merupakan irisan A dan C (tetapi bukan B): $A cap C$ ada 1, 3, 5. Kita perlu periksa apakah ada di B. 1 tidak di B, 3 tidak di B, 5 tidak di B. Jadi, daerah ini adalah 1, 3, 5.
*   Daerah yang merupakan irisan B dan C (tetapi bukan A): Tidak ada irisan $B cap C$. Daerah ini kosong.
*   Daerah yang merupakan irisan A, B, dan C: Kosong.

**Perbaikan saat menggambar:** Terdapat kesalahan dalam analisis irisan dua himpunan sebelumnya. Mari kita perbaiki dengan teliti:
$A = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
$B = 2, 4, 6, 8$
$C = 1, 3, 5, 7$

*   $A cap B = 2, 4, 6$
*   $A cap C = 1, 3, 5$
*   $B cap C = emptyset$ (Tidak ada anggota bersama)
*   $A cap B cap C = emptyset$

Sekarang hitung anggota yang hanya ada di satu himpunan:
*   Anggota A saja: Anggota A yang tidak ada di B maupun C. $A - (B cup C) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = emptyset$.
*   Anggota B saja: Anggota B yang tidak ada di A maupun C. $B - (A cup C) = 2, 4, 6, 8 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 = 8$.
*   Anggota C saja: Anggota C yang tidak ada di A maupun B. $C - (A cup B) = 1, 3, 5, 7 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 7$.

*   Irisan $A cap B$ tetapi bukan C: $A cap B = 2, 4, 6$. C tidak punya anggota ini. Jadi, daerah ini adalah $2, 4, 6$.
*   Irisan $A cap C$ tetapi bukan B: $A cap C = 1, 3, 5$. B tidak punya anggota ini. Jadi, daerah ini adalah $1, 3, 5$.
*   Irisan $B cap C$ tetapi bukan A: $B cap C = emptyset$. Daerah ini kosong.
*   Irisan $A cap B cap C$: Kosong.

**Diagram Venn yang Benar:**
Buat tiga lingkaran yang saling tumpang tindih.
*   Di daerah irisan A, B, dan C (tengah): Kosong.
*   Di daerah irisan A dan B (saja): 2, 4, 6.
*   Di daerah irisan A dan C (saja): 1, 3, 5.
*   Di daerah irisan B dan C (saja): Kosong.
*   Di daerah hanya A: Kosong.
*   Di daerah hanya B: 8.
*   Di daerah hanya C: 7.

```
     _______
    /       
   /    A    
  / 1,3,5 ___ 
 |  _____/    |
 | /      2,4,6
 |/   B   ___/ |
 |_____/       /
 |   8  /  C  /
   ___/ 7   /
  _______/
```
(Diagram ini hanya ilustrasi. Dalam gambar sebenarnya, Anda akan menggambar lingkaran yang tumpang tindih dan menempatkan angka di setiap daerah).

Kunci Jawaban Soal 5:
a. $A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8$
b. $A cap C = 1, 3, 5$
c. $B – C = 2, 4, 6, 8$
d. Diagram Venn dengan daerah yang terisi sebagai berikut:

• Irisan A, B, C: Kosong
• Irisan A dan B (saja): 2, 4, 6
• Irisan A dan C (saja): 1, 3, 5
• Irisan B dan C (saja): Kosong
• Hanya A: Kosong
• Hanya B: 8
• Hanya C: 7

>

Penutup

Memahami dan menguasai contoh-contoh soal di atas adalah langkah awal yang krusial dalam menghadapi materi matematika kelas 8 semester 1. Ingatlah bahwa kunci utama dalam belajar matematika adalah konsistensi dalam berlatih dan keberanian untuk bertanya ketika ada hal yang belum dipahami. Dengan terus berlatih dan mengulang materi, Anda pasti akan semakin percaya diri dan berhasil dalam pelajaran matematika. Selamat belajar!

>