Contoh soal matematika kelas 8 smp semester 1

Menaklukkan Matematika Kelas 8 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Matematika kelas 8 semester 1 merupakan jembatan penting dalam pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Materi yang diajarkan seringkali menjadi fondasi untuk aljabar, geometri, dan bahkan statistika di kelas 9 dan seterusnya. Memahami materi ini dengan baik bukan hanya untuk meraih nilai yang baik, tetapi juga untuk membangun rasa percaya diri dan kemampuan berpikir logis.

Pada semester 1 kelas 8, beberapa topik utama yang akan dibahas meliputi:

1. Pola Bilangan: Memahami pola yang tersusun dari bilangan, baik itu pola aritmetika, geometri, atau pola lainnya.
2. Bentuk Aljabar: Mengenal variabel, konstanta, suku, dan operasi pada bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian).
3. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV): Menyelesaikan persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.
4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV): Menyelesaikan pertidaksamaan yang memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.
5. Relasi dan Fungsi: Memahami konsep pemetaan antara dua himpunan dan berbagai jenis fungsi.
6. Persamaan Garis Lurus: Menggambar dan menentukan persamaan dari garis lurus pada bidang koordinat.

Artikel ini akan membahas secara mendalam setiap topik tersebut, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi serta pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Dengan demikian, para siswa diharapkan dapat lebih siap menghadapi ujian dan menguasai materi matematika kelas 8 semester 1.

1. Pola Bilangan

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki keteraturan tertentu. Keteraturan ini bisa berupa penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, atau kombinasi dari operasi-operasi tersebut.

Konsep Kunci:

• Suku: Setiap bilangan dalam susunan pola.
• Pola Aritmetika: Perbedaan antara dua suku berurutan adalah konstan. Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda.
• Pola Geometri: Perbandingan antara dua suku berurutan adalah konstan. Rumus suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.

Contoh Soal 1:

Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan berikut: 3, 7, 11, 15, …

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mengidentifikasi jenis pola bilangan tersebut.
Kita hitung perbedaan antara suku-suku yang berurutan:

• $7 – 3 = 4$
• $11 – 7 = 4$
• $15 – 11 = 4$

Karena perbedaannya konstan yaitu 4, maka ini adalah pola aritmetika dengan beda ($b$) = 4. Suku pertama ($a$) = 3.

Untuk menemukan tiga suku berikutnya, kita tambahkan beda (4) pada suku terakhir:

• Suku ke-5 = 15 + 4 = 19
• Suku ke-6 = 19 + 4 = 23
• Suku ke-7 = 23 + 4 = 27

Jadi, tiga suku berikutnya adalah 19, 23, dan 27.

Contoh Soal 2:

Diketahui pola bilangan 2, 6, 18, 54, … Tentukan suku ke-5 dari pola tersebut.

Pembahasan:

Mari kita periksa perbandingan antara suku-suku yang berurutan:

• $6 / 2 = 3$
• $18 / 6 = 3$
• $54 / 18 = 3$

Ini adalah pola geometri dengan rasio ($r$) = 3. Suku pertama ($a$) = 2.

Untuk menemukan suku ke-5, kita bisa menghitungnya secara langsung:

• Suku ke-5 = Suku ke-4 * rasio
• Suku ke-5 = 54 * 3 = 162

Atau menggunakan rumus suku ke-n pola geometri: $U_n = a cdot r^n-1$

• $U_5 = 2 cdot 3^5-1$
• $U_5 = 2 cdot 3^4$
• $U_5 = 2 cdot 81$
• $U_5 = 162$

Jadi, suku ke-5 dari pola tersebut adalah 162.

2. Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah ekspresi matematika yang melibatkan variabel, konstanta, dan operasi matematika.

Konsep Kunci:

• Variabel: Simbol yang mewakili nilai yang tidak diketahui (misalnya, x, y, a).
• Konstanta: Nilai tetap dalam ekspresi aljabar (misalnya, 5, -2, 1/3).
• Suku: Bagian dari ekspresi aljabar yang dipisahkan oleh tanda tambah (+) atau kurang (-).
• Suku Sejenis: Suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat variabel yang sama.
• Koefisien: Angka yang mengalikan variabel.

Operasi pada Bentuk Aljabar:

• Penjumlahan dan Pengurangan: Hanya suku-suku sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
• Perkalian: Mengalikan koefisien dan menjumlahkan pangkat variabel jika variabelnya sama.
• Pembagian: Membagi koefisien dan mengurangkan pangkat variabel jika variabelnya sama.

Contoh Soal 3:

Sederhanakan bentuk aljabar berikut: $5x + 3y – 2x + 7y – 4$

Pembahasan:

Kita kelompokkan suku-suku sejenis:

• Suku dengan variabel x: $5x$ dan $-2x$
• Suku dengan variabel y: $3y$ dan $7y$
• Suku konstanta: $-4$

Sekarang kita jumlahkan atau kurangkan suku-suku sejenis tersebut:

• $(5x – 2x) + (3y + 7y) – 4$
• $3x + 10y – 4$

Jadi, bentuk sederhana dari aljabar tersebut adalah $3x + 10y – 4$.

Contoh Soal 4:

Tentukan hasil dari perkalian bentuk aljabar berikut: $(2a + 3)(a – 4)$

Pembahasan:

Kita gunakan metode distribusi (pelangi):

• Kalikan suku pertama dari kurung pertama dengan kedua suku di kurung kedua:
  $2a cdot a = 2a^2$
  $2a cdot (-4) = -8a$
• Kalikan suku kedua dari kurung pertama dengan kedua suku di kurung kedua:
  $3 cdot a = 3a$
  $3 cdot (-4) = -12$

Sekarang, gabungkan semua hasil perkalian:
$2a^2 – 8a + 3a – 12$

Selanjutnya, sederhanakan dengan menjumlahkan suku-suku sejenis (suku dengan variabel ‘a’):
$2a^2 + (-8a + 3a) – 12$
$2a^2 – 5a – 12$

Jadi, hasil perkalian $(2a + 3)(a – 4)$ adalah $2a^2 – 5a – 12$.

3. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah satu.

Konsep Kunci:

• Variabel: Simbol yang mewakili nilai yang tidak diketahui.
• Tanda Sama Dengan (=): Menunjukkan bahwa nilai di sisi kiri sama dengan nilai di sisi kanan.
• Tujuan: Mencari nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar.

Cara Menyelesaikan PLSV:

Kita gunakan prinsip keseimbangan, yaitu apa yang dilakukan pada satu sisi persamaan harus dilakukan juga pada sisi lainnya. Tujuannya adalah mengisolasi variabel di satu sisi.

Contoh Soal 5:

Tentukan nilai $x$ dari persamaan linear $3x + 5 = 14$.

Pembahasan:

Tujuan kita adalah membuat $x$ sendirian di satu sisi persamaan.

1. Kurangi kedua sisi persamaan dengan 5 untuk menghilangkan konstanta di sisi kiri:
   $3x + 5 – 5 = 14 – 5$
   $3x = 9$
2. Bagi kedua sisi persamaan dengan 3 untuk mendapatkan nilai $x$:
   $3x / 3 = 9 / 3$
   $x = 3$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah 3.

Contoh Soal 6:

Selesaikan persamaan linear berikut: $2(y – 3) = y + 4$

Pembahasan:

1. Distribusikan angka 2 ke dalam kurung di sisi kiri:
   $2y – 6 = y + 4$
2. Pindahkan semua suku yang mengandung variabel $y$ ke satu sisi (misalnya, sisi kiri) dan konstanta ke sisi lainnya (sisi kanan). Untuk memindahkan $y$ dari kanan ke kiri, kurangi kedua sisi dengan $y$:
   $2y – 6 – y = y + 4 – y$
   $y – 6 = 4$
3. Untuk memindahkan konstanta -6 dari kiri ke kanan, tambahkan kedua sisi dengan 6:
   $y – 6 + 6 = 4 + 6$
   $y = 10$

Jadi, nilai $y$ yang memenuhi persamaan adalah 10.

4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Pertidaksamaan linear satu variabel mirip dengan persamaan linear, namun menggunakan simbol ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) bukan tanda sama dengan.

Konsep Kunci:

• Simbol Ketidaksamaan:
  • < (kurang dari)
  • > (lebih dari)
  • ≤ (kurang dari atau sama dengan)
  • ≥ (lebih dari atau sama dengan)
• Solusi: Himpunan nilai variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi benar.

Cara Menyelesaikan PtLSV:

Prinsipnya sama dengan PLSV, yaitu melakukan operasi yang sama pada kedua sisi. Namun, ada aturan penting: Jika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, maka arah simbol ketidaksamaan harus dibalik.

Contoh Soal 7:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $2x – 3 < 7$ untuk $x$ bilangan asli.

Pembahasan:

1. Tambahkan 3 ke kedua sisi pertidaksamaan:
   $2x – 3 + 3 < 7 + 3$
   $2x < 10$
2. Bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 2:
   $2x / 2 < 10 / 2$
   $x < 5$

Karena $x$ adalah bilangan asli dan harus kurang dari 5, maka himpunan penyelesaiannya adalah 1, 2, 3, 4.

Contoh Soal 8:

Selesaikan pertidaksamaan $-3m + 5 geq 11$.

Pembahasan:

1. Kurangi kedua sisi dengan 5:
   $-3m + 5 – 5 geq 11 – 5$
   $-3m geq 6$
2. Bagi kedua sisi dengan -3. Ingat, kita membagi dengan bilangan negatif, jadi arah simbol ketidaksamaan harus dibalik.
   $-3m / -3 leq 6 / -3$
   $m leq -2$

Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah semua bilangan $m$ yang kurang dari atau sama dengan -2.

5. Relasi dan Fungsi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan satu dengan anggota himpunan lain. Fungsi adalah jenis relasi khusus di mana setiap anggota himpunan pertama (domain) berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan kedua (kodomain).

Konsep Kunci:

• Himpunan A (Domain): Himpunan asal.
• Himpunan B (Kodomain): Himpunan tujuan.
• Pasangan Berurutan: Cara merepresentasikan relasi atau fungsi dalam bentuk $(anggota A, anggota B)$.
• Diagram Panah: Representasi visual dari relasi atau fungsi.
• Syarat Fungsi: Setiap elemen di domain dipetakan ke tepat satu elemen di kodomain.

Contoh Soal 9:

Diketahui himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = 2, 4, 6, 8. Relasi dari A ke B adalah "setengah dari". Sajikan relasi ini dalam bentuk himpunan pasangan berurutan dan diagram panah. Tentukan apakah relasi ini merupakan fungsi.

Pembahasan:

• Himpunan Pasangan Berurutan:
  Kita cari anggota A yang jika dikalikan 2 menghasilkan anggota B.
  1 adalah setengah dari 2, jadi (1, 2).
  2 adalah setengah dari 4, jadi (2, 4).
  3 adalah setengah dari 6, jadi (3, 6).
  Himpunan pasangan berurutan: (1, 2), (2, 4), (3, 6).

• Diagram Panah:
  Buat dua lingkaran, satu untuk himpunan A dan satu untuk himpunan B.
  Gambar panah dari elemen di A ke elemen di B sesuai dengan pasangan berurutan yang sudah ditemukan.
  A: 1 -> 2
  A: 2 -> 4
  A: 3 -> 6

• Apakah ini Fungsi?
  Ya, relasi ini adalah fungsi. Setiap anggota himpunan A (1, 2, dan 3) hanya dipasangkan dengan tepat satu anggota di himpunan B (masing-masing 2, 4, dan 6).

Contoh Soal 10:

Diketahui himpunan P = apel, jeruk dan himpunan Q = merah, hijau, kuning. Relasi dari P ke Q adalah "memiliki warna". Sajikan relasi ini dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Tentukan apakah relasi ini merupakan fungsi.

Pembahasan:

• Himpunan Pasangan Berurutan:
  Apel bisa berwarna merah atau hijau atau kuning (tergantung jenis apelnya, kita ambil contoh umum). Kita anggap apel bisa berwarna merah dan kuning.
  Jeruk biasanya berwarna hijau atau kuning. Kita anggap jeruk berwarna kuning.
  Maka, himpunan pasangan berurutan bisa: (apel, merah), (apel, kuning), (jeruk, kuning).

• Apakah ini Fungsi?
  Bukan, relasi ini bukan fungsi. Elemen "apel" di himpunan P dipasangkan dengan lebih dari satu elemen di himpunan Q (merah dan kuning).

6. Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus menggambarkan hubungan antara koordinat x dan y pada bidang Kartesius.

Konsep Kunci:

• Gradien (m): Kemiringan garis.
• Titik Potong Sumbu y (c): Nilai y ketika x = 0.
• Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus: $y = mx + c$
• Menentukan Persamaan Garis:
  • Jika diketahui gradien (m) dan satu titik $(x_1, y_1)$: $y – y_1 = m(x – x_1)$
  • Jika diketahui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$, lalu gunakan rumus di atas.

Contoh Soal 11:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dengan gradien 3.

Pembahasan:

Kita gunakan rumus $y – y_1 = m(x – x_1)$.
Diketahui:

• Titik $(x_1, y_1) = (2, 5)$
• Gradien $m = 3$

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$y – 5 = 3(x – 2)$
$y – 5 = 3x – 6$

Pindahkan konstanta -5 ke sisi kanan untuk mendapatkan bentuk $y = mx + c$:
$y = 3x – 6 + 5$
$y = 3x – 1$

Jadi, persamaan garisnya adalah $y = 3x – 1$.

Contoh Soal 12:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 4) dan (3, 10).

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mencari gradien (m) dari kedua titik tersebut.
Titik 1: $(x_1, y_1) = (1, 4)$
Titik 2: $(x_2, y_2) = (3, 10)$

$m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1 = frac10 – 43 – 1 = frac62 = 3$

Sekarang kita punya gradien $m = 3$. Kita bisa gunakan salah satu titik (misalnya titik (1, 4)) dan rumus $y – y_1 = m(x – x_1)$.

$y – 4 = 3(x – 1)$
$y – 4 = 3x – 3$

Pindahkan konstanta -4 ke sisi kanan:
$y = 3x – 3 + 4$
$y = 3x + 1$

Jadi, persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah $y = 3x + 1$.

>

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 8 semester 1 adalah kunci sukses untuk jenjang pendidikan selanjutnya. Dengan memahami konsep-konsep dasar pola bilangan, bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear, relasi dan fungsi, serta persamaan garis lurus, siswa akan memiliki bekal yang kuat. Contoh-contoh soal yang telah dibahas diharapkan dapat memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana menerapkan konsep-konsep tersebut dalam menyelesaikan masalah. Teruslah berlatih, jangan ragu untuk bertanya, dan jadikan matematika sebagai sahabat untuk menaklukkan tantangan akademis Anda!

>