Menguasai Perkalian pada Perpangkatan: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal Kelas 9
Perpangkatan adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang akan terus menemani kita hingga jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Memahami operasi pada perpangkatan, terutama perkalian, menjadi kunci untuk memecahkan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks. Di kelas 9, bab pertama seringkali didedikasikan untuk memperdalam pemahaman tentang perpangkatan, dan perkalian pada perpangkatan menjadi topik utama yang krusial.
Artikel ini akan membawa Anda menjelajahi dunia perkalian pada perpangkatan dengan panduan yang komprehensif. Kita akan mengulas kembali definisi perpangkatan, memahami sifat-sifat perkalian pada perpangkatan, dan yang terpenting, mempraktikkannya melalui berbagai contoh soal yang relevan untuk siswa kelas 9.
Mengingat Kembali Fondasi: Apa Itu Perpangkatan?
Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu perpangkatan. Perpangkatan, atau eksponensiasi, adalah operasi matematika yang melibatkan perkalian berulang dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Bentuk umum perpangkatan adalah $a^n$, di mana:
- $a$ disebut basis (bilangan pokok).
- $n$ disebut eksponen (pangkat).
Eksponen $n$ menunjukkan berapa kali basis $a$ dikalikan dengan dirinya sendiri.
Contoh:
- $2^3$ berarti $2 times 2 times 2 = 8$. Di sini, basisnya adalah 2 dan eksponennya adalah 3.
- $5^2$ berarti $5 times 5 = 25$. Di sini, basisnya adalah 5 dan eksponennya adalah 2.
- $x^4$ berarti $x times x times x times x$. Di sini, basisnya adalah $x$ dan eksponennya adalah 4.
Sifat-Sifat Perkalian pada Perpangkatan: Kunci Penyederhanaan
Memahami sifat-sifat perkalian pada perpangkatan akan sangat membantu kita dalam menyederhanakan ekspresi yang melibatkan perpangkatan. Sifat-sifat ini berlaku ketika kita mengalikan dua atau lebih perpangkatan dengan basis yang sama.
Sifat 1: Perkalian Perpangkatan dengan Basis yang Sama
Jika kita mengalikan dua perpangkatan dengan basis yang sama, kita cukup menjumlahkan eksponennya. Secara matematis, sifat ini dapat ditulis sebagai:
$a^m times a^n = a^m+n$
Penjelasan:
Ketika kita mengalikan $a^m$ dengan $a^n$, artinya kita mengalikan $a$ sebanyak $m$ kali dengan dirinya sendiri, kemudian dikalikan lagi dengan $a$ sebanyak $n$ kali. Totalnya, $a$ akan dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $m+n$ kali.
Contoh Ilustrasi:
$2^3 times 2^2 = (2 times 2 times 2) times (2 times 2)$
$= 2 times 2 times 2 times 2 times 2$
$= 2^5$
Menggunakan sifat: $2^3 times 2^2 = 2^3+2 = 2^5$
Sifat 2: Perpangkatan dari Perpangkatan
Jika suatu perpangkatan dipangkatkan lagi, maka eksponennya dikalikan. Secara matematis, sifat ini dapat ditulis sebagai:
$(a^m)^n = a^m times n$
Penjelasan:
Ketika kita mempangkatkan $a^m$ dengan $n$, artinya kita mengalikan $a^m$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali. Setiap $a^m$ adalah perkalian $a$ sebanyak $m$ kali. Jadi, total perkalian $a$ adalah $m$ dikali $n$ kali.
Contoh Ilustrasi:
$(3^2)^3 = (3 times 3)^3$
$= (3 times 3) times (3 times 3) times (3 times 3)$
$= 3 times 3 times 3 times 3 times 3 times 3$
$= 3^6$
Menggunakan sifat: $(3^2)^3 = 3^2 times 3 = 3^6$
Sifat 3: Perkalian Dua Basis Berbeda yang Dipangkatkan
Jika kita mengalikan dua bilangan dengan basis berbeda yang sama-sama dipangkatkan, dan pangkatnya sama, maka kita bisa mengalikan basisnya terlebih dahulu kemudian memangkatkannya dengan pangkat yang sama. Secara matematis, sifat ini dapat ditulis sebagai:
$(a times b)^n = a^n times b^n$
Penjelasan:
$(a times b)^n$ berarti mengalikan $(a times b)$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali.
$(a times b) times (a times b) times dots times (a times b)$ (sebanyak $n$ kali)
Kita bisa mengelompokkan semua faktor $a$ dan semua faktor $b$. Akan ada $n$ faktor $a$ dan $n$ faktor $b$.
$= (a times a times dots times a) times (b times b times dots times b)$
$= a^n times b^n$
Contoh Ilustrasi:
$(2 times 3)^2 = 6^2 = 36$
Menggunakan sifat: $(2 times 3)^2 = 2^2 times 3^2 = 4 times 9 = 36$
Sifat 4: Perpangkatan Hasil Bagi (Pembagian Perpangkatan dengan Basis yang Sama)
Meskipun fokus kita adalah perkalian, penting juga untuk mengingat sifat pembagian karena seringkali muncul bersamaan atau dalam konteks yang sama. Jika kita membagi dua perpangkatan dengan basis yang sama, kita cukup mengurangkan eksponennya.
$a^m / a^n = a^m-n$ (dengan syarat $a neq 0$ dan $m ge n$)
Sifat 5: Perpangkatan Nol
Setiap bilangan (kecuali 0) yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya adalah 1.
$a^0 = 1$ (dengan syarat $a neq 0$)
Sifat 6: Perpangkatan Negatif
Perpangkatan dengan eksponen negatif dapat diubah menjadi perpangkatan dengan eksponen positif di penyebut.
$a^-n = 1 / a^n$ (dengan syarat $a neq 0$)
Contoh Soal dan Pembahasannya (Kelas 9)
Sekarang, mari kita aplikasikan sifat-sifat perkalian pada perpangkatan ini dengan berbagai contoh soal yang sering muncul di kelas 9.
Tipe Soal 1: Menyederhanakan Ekspresi Perkalian Perpangkatan
Soal 1: Sederhanakan bentuk $3^4 times 3^2$.
Pembahasan:
Kita memiliki perkalian dua perpangkatan dengan basis yang sama (yaitu 3). Kita bisa menggunakan sifat $a^m times a^n = a^m+n$.
$3^4 times 3^2 = 3^4+2 = 3^6$.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $3^6$. Jika diminta nilainya, kita hitung $3^6 = 729$.
Soal 2: Sederhanakan bentuk $5^7 times 5^-3$.
Pembahasan:
Sama seperti soal sebelumnya, basisnya sama (yaitu 5). Gunakan sifat $a^m times a^n = a^m+n$.
$5^7 times 5^-3 = 5^7 + (-3) = 5^7-3 = 5^4$.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $5^4$. Nilainya adalah $625$.
Soal 3: Sederhanakan bentuk $p^5 times p times p^3$.
Pembahasan:
Ingat bahwa $p$ sama dengan $p^1$. Basisnya sama (yaitu $p$).
$p^5 times p times p^3 = p^5 times p^1 times p^3$
$= p^5+1+3 = p^9$.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $p^9$.
Tipe Soal 2: Menyederhanakan Ekspresi dengan Perpangkatan dari Perpangkatan
Soal 4: Sederhanakan bentuk $(4^3)^2$.
Pembahasan:
Kita menggunakan sifat $(a^m)^n = a^m times n$.
$(4^3)^2 = 4^3 times 2 = 4^6$.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $4^6$.
Soal 5: Sederhanakan bentuk $(x^5)^3$.
Pembahasan:
Menggunakan sifat yang sama: $(x^5)^3 = x^5 times 3 = x^15$.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $x^15$.
Soal 6: Sederhanakan bentuk $(y^-2)^4$.
Pembahasan:
$(y^-2)^4 = y^-2 times 4 = y^-8$.
Bentuk ini bisa juga ditulis sebagai $1/y^8$. Keduanya benar tergantung konteks soal.
Tipe Soal 3: Kombinasi Sifat-Sifat Perkalian Perpangkatan
Soal 7: Sederhanakan bentuk $(2^3 times 2^5)^2$.
Pembahasan:
Kita bisa menyederhanakan bagian dalam kurung terlebih dahulu, baru kemudian mempangkatkan hasilnya.
Dalam kurung: $2^3 times 2^5 = 2^3+5 = 2^8$.
Kemudian, $(2^8)^2 = 2^8 times 2 = 2^16$.
Cara lain:
$(2^3 times 2^5)^2 = (2^3)^2 times (2^5)^2$ (menggunakan sifat $(a times b)^n = a^n times b^n$)
$= 2^3 times 2 times 2^5 times 2$
$= 2^6 times 2^10$
$= 2^6+10 = 2^16$.
Hasilnya sama.
Soal 8: Sederhanakan bentuk $(3a^2 b^3)^4$.
Pembahasan:
Kita menggunakan sifat $(a times b times c)^n = a^n times b^n times c^n$ dan $(a^m)^n = a^m times n$.
$(3a^2 b^3)^4 = 3^4 times (a^2)^4 times (b^3)^4$
$= 3^4 times a^2 times 4 times b^3 times 4$
$= 81 times a^8 times b^12$
$= 81a^8b^12$.
Soal 9: Sederhanakan bentuk $frac7^5 times 7^27^3$.
Pembahasan:
Kita bisa menyederhanakan pembilang terlebih dahulu, atau langsung menggunakan sifat pembagian.
Menggunakan sifat pembagian secara langsung:
$frac7^5 times 7^27^3 = frac7^5+27^3 = frac7^77^3$
$= 7^7-3 = 7^4$.
Cara lain (menyederhanakan pembilang dulu):
$frac7^5 times 7^27^3 = frac7^77^3 = 7^7-3 = 7^4$.
Tipe Soal 4: Soal Cerita yang Melibatkan Perkalian Perpangkatan
Soal 10: Sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap 1 jam. Jika pada awal pengamatan terdapat 5 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 4 jam?
Pembahasan:
Jumlah bakteri berlipat ganda setiap jam. Ini adalah contoh pertumbuhan eksponensial.
Jumlah bakteri awal = 5
Setelah 1 jam: $5 times 2^1$
Setelah 2 jam: $5 times 2^2$
Setelah 3 jam: $5 times 2^3$
Setelah 4 jam: $5 times 2^4$
Menggunakan sifat perpangkatan, kita perlu menghitung $5 times 2^4$.
$2^4 = 2 times 2 times 2 times 2 = 16$.
Jumlah bakteri setelah 4 jam = $5 times 16 = 80$.
Jadi, setelah 4 jam akan ada 80 bakteri.
Soal 11: Luas sebuah persegi adalah $x^6$ satuan persegi. Jika panjang sisi persegi tersebut dipangkatkan 3, berapa luas persegi yang baru?
Pembahasan:
Luas persegi = sisi $times$ sisi = sisi$^2$.
Diketahui luas persegi adalah $x^6$, maka sisi$^2 = x^6$.
Untuk mencari panjang sisi, kita akarkan luasnya: sisi = $sqrtx^6 = x^6/2 = x^3$.
Sekarang, panjang sisi persegi tersebut dipangkatkan 3.
Panjang sisi baru = $(x^3)^3$.
Menggunakan sifat $(a^m)^n = a^m times n$:
Panjang sisi baru = $x^3 times 3 = x^9$.
Luas persegi yang baru adalah (panjang sisi baru)$^2$.
Luas baru = $(x^9)^2 = x^9 times 2 = x^18$.
Jadi, luas persegi yang baru adalah $x^18$ satuan persegi.
Tips Tambahan untuk Menguasai Perkalian pada Perpangkatan:
- Pahami Sifat-sifatnya: Hafalkan dan pahami logika di balik setiap sifat perpangkatan. Ini akan menjadi dasar Anda dalam mengerjakan soal.
- Latihan Rutin: Kunci utama penguasaan adalah latihan. Kerjakan berbagai macam soal, mulai dari yang paling sederhana hingga yang lebih kompleks.
- Identifikasi Basis yang Sama: Saat menyederhanakan ekspresi, selalu perhatikan apakah basisnya sama. Sifat-sifat perkalian perpangkatan hanya berlaku jika basisnya sama.
- Teliti dengan Tanda Negatif: Perhatikan dengan cermat tanda negatif pada eksponen atau pada basis, karena ini dapat mengubah hasil secara signifikan.
- Gunakan Kurung dengan Bijak: Kurung membantu mengelompokkan suku-suku, terutama saat ada perpangkatan dari perpangkatan atau perpangkatan dari perkalian/pembagian.
- Verifikasi Jawaban: Jika memungkinkan, coba hitung nilai dari ekspresi sebelum disederhanakan dan setelah disederhanakan untuk memastikan jawaban Anda benar.
Kesimpulan
Perkalian pada perpangkatan adalah konsep fundamental yang akan membuka jalan bagi pemahaman materi matematika yang lebih lanjut. Dengan menguasai sifat-sifatnya dan berlatih secara konsisten melalui berbagai contoh soal, siswa kelas 9 dapat membangun fondasi yang kuat dalam matematika. Ingatlah bahwa setiap soal adalah kesempatan untuk belajar dan memperdalam pemahaman. Teruslah berlatih, dan Anda akan melihat betapa mudahnya menguasai perkalian pada perpangkatan!
>
