Matematika, seringkali dianggap sebagai subjek yang menantang, sesungguhnya adalah sebuah bahasa universal yang memandu kita memahami dunia di sekitar. Di jenjang Sekolah Menengah Pertama (SMP), Kurikulum 2013 memberikan fondasi yang kuat bagi siswa untuk membangun pemahaman matematika yang kokoh. Salah satu kompetensi dasar (KD) krusial di kelas 7 adalah KD 3.1 yang berfokus pada memahami dan menerapkan konsep bilangan bulat dan pecahan dalam berbagai bentuk dan operasi. Artikel ini akan mendalami bagian pertama dari KD tersebut, yaitu bilangan bulat, dengan menyajikan berbagai contoh soal yang relevan dengan Kurikulum 2013, lengkap dengan penjelasan mendalam untuk membantu siswa kelas 7 menguasai materi ini.
Apa Itu Bilangan Bulat? Mengapa Penting?
Sebelum kita menyelami contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang bilangan bulat. Bilangan bulat adalah himpunan semua bilangan asli (1, 2, 3, …), nol (0), dan bilangan asli negatif (-1, -2, -3, …). Garis bilangan adalah alat visual yang sangat membantu untuk memahami bilangan bulat. Di garis bilangan, bilangan positif berada di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan negatif berada di sebelah kiri nol.
Mengapa bilangan bulat penting? Konsep bilangan bulat sangat fundamental dan memiliki aplikasi luas dalam kehidupan sehari-hari, bahkan mungkin tanpa kita sadari. Contohnya:
- Suhu: Mengukur suhu di bawah titik beku (misalnya, -5°C) menggunakan bilangan bulat negatif.
- Ketinggian: Mengukur kedalaman laut (misalnya, -200 meter) atau ketinggian gunung (misalnya, 2930 meter) melibatkan bilangan bulat positif dan negatif.
- Keuangan: Mencatat utang (bilangan negatif) dan piutang (bilangan positif) dalam pembukuan.
- Gerakan: Melacak pergerakan maju (positif) dan mundur (negatif) pada suatu sumbu.
Oleh karena itu, pemahaman yang kuat tentang bilangan bulat adalah kunci untuk membuka pintu ke konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya.
Operasi Dasar pada Bilangan Bulat
Dalam KD 3.1, fokus utama pada bilangan bulat meliputi empat operasi dasar: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Masing-masing operasi memiliki aturan tersendiri, terutama ketika melibatkan bilangan positif dan negatif.
1. Penjumlahan Bilangan Bulat
Penjumlahan bilangan bulat dapat dibantu dengan visualisasi garis bilangan.
- Bilangan positif + Bilangan positif: Hasilnya positif.
- Contoh: $3 + 5 = 8$
- Bilangan negatif + Bilangan negatif: Hasilnya negatif.
- Contoh: $(-3) + (-5) = -8$
- Bilangan positif + Bilangan negatif (atau sebaliknya): Hasilnya bergantung pada nilai mutlak kedua bilangan.
- Jika bilangan positif lebih besar, hasilnya positif.
- Contoh: $8 + (-3) = 5$ (Sama seperti $8 – 3$)
- Jika bilangan negatif lebih besar, hasilnya negatif.
- Contoh: $3 + (-8) = -5$ (Sama seperti $3 – 8$)
- Jika kedua bilangan memiliki nilai mutlak yang sama, hasilnya adalah nol.
- Contoh: $5 + (-5) = 0$
- Jika bilangan positif lebih besar, hasilnya positif.
Contoh Soal Penjumlahan Bilangan Bulat:
Soal 1: Hitunglah hasil dari $-15 + 8$.
Pembahasan:
Kita memiliki bilangan negatif (-15) dan bilangan positif (8). Nilai mutlak dari -15 adalah 15, dan nilai mutlak dari 8 adalah 8. Karena nilai mutlak bilangan negatif lebih besar, hasilnya akan negatif. Kita kurangkan nilai mutlak yang lebih kecil dari nilai mutlak yang lebih besar: $15 – 8 = 7$. Karena hasilnya negatif, maka jawabannya adalah $-7$.
Secara matematis, dapat ditulis: $-15 + 8 = -(15 – 8) = -7$.
Soal 2: Tentukan hasil dari $20 + (-7) + 12$.
Pembahasan:
Kita bisa menjumlahkan bilangan positif terlebih dahulu atau mengoperasikan dari kiri ke kanan. Mari kita operasikan dari kiri ke kanan.
Pertama, $20 + (-7)$. Ini sama dengan $20 – 7 = 13$.
Selanjutnya, hasil dari $13 + 12 = 25$.
Jadi, $20 + (-7) + 12 = 25$.
2. Pengurangan Bilangan Bulat
Mengurangi bilangan bulat sama dengan menjumlahkan dengan lawan bilangan tersebut. Ingat, lawan dari bilangan positif adalah bilangan negatifnya, dan lawan dari bilangan negatif adalah bilangan positifnya.
- $a – b = a + (-b)$
- $a – (-b) = a + b$
Contoh Soal Pengurangan Bilangan Bulat:
Soal 3: Hitunglah hasil dari $10 – 18$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan pengurangan, $10 – 18$ sama dengan $10 + (-18)$.
Sekarang kita punya penjumlahan bilangan positif dan negatif. Nilai mutlak 18 lebih besar dari 10. Maka, hasilnya negatif.
$18 – 10 = 8$. Jadi, jawabannya adalah $-8$.
Soal 4: Berapakah hasil dari $-12 – 5$?
Pembahasan:
Ini sama dengan $-12 + (-5)$.
Kedua bilangan negatif, jadi hasilnya negatif.
$12 + 5 = 17$. Jadi, jawabannya adalah $-17$.
Soal 5: Tentukan nilai dari $7 – (-4)$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan $a – (-b) = a + b$, maka $7 – (-4) = 7 + 4$.
$7 + 4 = 11$.
Jadi, $7 – (-4) = 11$.
3. Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian bilangan bulat memiliki aturan tanda yang perlu diperhatikan:
- Positif $times$ Positif = Positif
- Contoh: $3 times 5 = 15$
- Negatif $times$ Negatif = Positif
- Contoh: $(-3) times (-5) = 15$
- Positif $times$ Negatif = Negatif
- Contoh: $3 times (-5) = -15$
- Negatif $times$ Positif = Negatif
- Contoh: $(-3) times 5 = -15$
Contoh Soal Perkalian Bilangan Bulat:
Soal 6: Hitunglah hasil dari $-9 times 4$.
Pembahasan:
Kita mengalikan bilangan negatif dengan bilangan positif. Berdasarkan aturan perkalian, hasilnya akan negatif.
$9 times 4 = 36$.
Jadi, $-9 times 4 = -36$.
Soal 7: Tentukan hasil dari $(-6) times (-7)$.
Pembahasan:
Kita mengalikan bilangan negatif dengan bilangan negatif. Berdasarkan aturan perkalian, hasilnya akan positif.
$6 times 7 = 42$.
Jadi, $(-6) times (-7) = 42$.
Soal 8: Berapakah hasil dari $5 times (-2) times 3$?
Pembahasan:
Kita bisa mengoperasikan dari kiri ke kanan.
Pertama, $5 times (-2)$. Positif dikali negatif menghasilkan negatif. $5 times 2 = 10$. Jadi, $5 times (-2) = -10$.
Selanjutnya, $(-10) times 3$. Negatif dikali positif menghasilkan negatif. $10 times 3 = 30$. Jadi, $(-10) times 3 = -30$.
Jadi, $5 times (-2) times 3 = -30$.
4. Pembagian Bilangan Bulat
Aturan tanda pada pembagian bilangan bulat sama persis dengan aturan tanda pada perkalian:
- Positif $div$ Positif = Positif
- Contoh: $15 div 3 = 5$
- Negatif $div$ Negatif = Positif
- Contoh: $(-15) div (-3) = 5$
- Positif $div$ Negatif = Negatif
- Contoh: $15 div (-3) = -5$
- Negatif $div$ Positif = Negatif
- Contoh: $(-15) div 3 = -5$
Contoh Soal Pembagian Bilangan Bulat:
Soal 9: Hitunglah hasil dari $48 div (-6)$.
Pembahasan:
Kita membagi bilangan positif dengan bilangan negatif. Hasilnya akan negatif.
$48 div 6 = 8$.
Jadi, $48 div (-6) = -8$.
Soal 10: Tentukan hasil dari $-72 div (-9)$.
Pembahasan:
Kita membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif. Hasilnya akan positif.
$72 div 9 = 8$.
Jadi, $-72 div (-9) = 8$.
Soal 11: Berapakah hasil dari $36 div 4 div (-3)$?
Pembahasan:
Operasikan dari kiri ke kanan.
Pertama, $36 div 4 = 9$.
Selanjutnya, $9 div (-3)$. Positif dibagi negatif menghasilkan negatif. $9 div 3 = 3$. Jadi, $9 div (-3) = -3$.
Jadi, $36 div 4 div (-3) = -3$.
Penerapan dalam Soal Cerita
Selain soal hitungan langsung, siswa kelas 7 juga akan dihadapkan pada soal cerita yang menguji pemahaman mereka tentang penerapan bilangan bulat.
Soal 12: Suhu udara di puncak gunung pada pagi hari adalah $-5^circ$C. Menjelang siang, suhu naik $12^circ$C. Berapakah suhu udara di puncak gunung pada siang hari?
Pembahasan:
Suhu awal adalah $-5^circ$C. Kenaikan suhu berarti kita menambahkan bilangan positif.
Suhu siang hari = Suhu pagi + Kenaikan suhu
Suhu siang hari = $-5^circ$C + $12^circ$C
Suhu siang hari = $7^circ$C
Jadi, suhu udara di puncak gunung pada siang hari adalah $7^circ$C.
Soal 13: Pak Budi memiliki saldo awal di rekening bank sebesar Rp1.500.000. Selama seminggu, ia melakukan beberapa transaksi: menarik tunai Rp300.000, mentransfer uang sebesar Rp500.000, dan menyetor tunai Rp200.000. Berapakah saldo akhir Pak Budi di rekening banknya?
Pembahasan:
Saldo awal = Rp1.500.000
Menarik tunai = dikurangi Rp300.000 (atau $+ (-300.000)$)
Mentransfer uang = dikurangi Rp500.000 (atau $+ (-500.000)$)
Menyetor tunai = ditambah Rp200.000
Saldo akhir = Saldo awal – Penarikan – Transfer + Setoran
Saldo akhir = $1.500.000 – 300.000 – 500.000 + 200.000$
Mari kita hitung:
$1.500.000 – 300.000 = 1.200.000$
$1.200.000 – 500.000 = 700.000$
$700.000 + 200.000 = 900.000$
Jadi, saldo akhir Pak Budi adalah Rp900.000.
Soal 14: Sebuah kapal selam berada pada kedalaman 150 meter di bawah permukaan laut. Kapal tersebut kemudian naik sejauh 40 meter. Berapakah posisi kapal selam sekarang dari permukaan laut?
Pembahasan:
Kedalaman di bawah permukaan laut dapat direpresentasikan dengan bilangan negatif.
Posisi awal kapal selam = $-150$ meter.
Naik sejauh 40 meter berarti kita menambahkan 40 meter.
Posisi akhir = Posisi awal + Jarak naik
Posisi akhir = $-150$ meter + $40$ meter
Posisi akhir = $-110$ meter
Jadi, posisi kapal selam sekarang adalah 110 meter di bawah permukaan laut.
Tips Tambahan untuk Menguasai Bilangan Bulat
- Gunakan Garis Bilangan: Untuk siswa yang baru belajar, garis bilangan adalah alat bantu yang sangat efektif untuk memvisualisasikan penjumlahan dan pengurangan.
- Hafalkan Aturan Tanda: Aturan tanda pada perkalian dan pembagian adalah kunci. Latihlah terus hingga hafal di luar kepala.
- Latihan Soal Secara Berkala: Semakin sering berlatih, semakin terbiasa siswa dengan berbagai jenis soal dan semakin lancar dalam mengerjakannya.
- Pahami Konsep, Bukan Hanya Menghafal Rumus: Pastikan siswa memahami mengapa aturan tersebut berlaku, bukan hanya menghafalnya.
- Tanya Jika Tidak Paham: Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada konsep yang belum jelas.
Kesimpulan
Memahami konsep bilangan bulat dan operasinya adalah langkah awal yang krusial dalam perjalanan belajar matematika. Dengan penguasaan KD 3.1 ini, siswa kelas 7 SMP Kurikulum 2013 akan memiliki fondasi yang kuat untuk menghadapi materi matematika selanjutnya, baik itu bilangan pecahan, aljabar, maupun konsep-konsep yang lebih kompleks. Contoh-contoh soal yang telah dibahas, mulai dari operasi dasar hingga soal cerita, diharapkan dapat menjadi panduan berharga bagi para siswa dalam berlatih dan menguasai materi bilangan bulat ini. Selamat belajar dan teruslah berlatih!
