Contoh soal matematika kelas 7 semester 1 aljabar

Menaklukkan Dunia Aljabar: Contoh Soal Matematika Kelas 7 Semester 1 yang Menginspirasi

Memasuki dunia Aljabar di kelas 7 merupakan sebuah lompatan signifikan dalam pembelajaran matematika. Dari bilangan-bilangan konkret yang kita kenal di tingkat sebelumnya, kita kini akan bertransformasi menjadi para pemecah masalah yang menggunakan simbol-simbol misterius (variabel) untuk mewakili kuantitas yang tidak diketahui. Semester pertama kelas 7 memberikan fondasi yang krusial untuk menguasai konsep-konsep aljabar ini. Artikel ini akan menjadi panduan Anda, dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang beragam dan penjelasan mendalam, untuk membantu Anda tidak hanya memahami tetapi juga menaklukkan materi aljabar semester 1.

Aljabar bukanlah sekadar deretan huruf dan angka yang tampak rumit. Ia adalah bahasa universal yang memungkinkan kita memodelkan situasi dunia nyata, menemukan pola, dan menyelesaikan masalah yang sebelumnya sulit dijangkau. Memahami konsep dasar seperti variabel, konstanta, suku, bentuk aljabar, dan operasi pada bentuk aljabar akan membuka pintu gerbang menuju pemahaman matematika yang lebih luas dan mendalam.

Mari kita selami contoh-contoh soal yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda pada berbagai aspek aljabar semester 1.

Bagian 1: Mengenal Elemen-Elemen Aljabar

Sebelum kita melangkah lebih jauh, penting untuk memahami terminologi dasar dalam aljabar.

Contoh Soal 1: Identifikasi Variabel, Konstanta, dan Koefisien

Tentukan variabel, konstanta, dan koefisien dari bentuk aljabar berikut:

a. $5x + 7$
b. $2y – 9$
c. $a^2 + 3b – 1$

Pembahasan:

• Variabel: Variabel adalah simbol (biasanya huruf) yang mewakili nilai yang tidak diketahui atau dapat berubah.
  • Pada a: Variabelnya adalah $x$.
  • Pada b: Variabelnya adalah $y$.
  • Pada c: Variabelnya adalah $a$ dan $b$.
• Konstanta: Konstanta adalah nilai numerik yang tetap dan tidak berubah.
  • Pada a: Konstanta adalah $7$.
  • Pada b: Konstanta adalah $-9$. (Perhatikan tanda negatifnya)
  • Pada c: Konstanta adalah $-1$.
• Koefisien: Koefisien adalah bilangan yang mengalikan variabel.
  • Pada a: Koefisien dari $x$ adalah $5$.
  • Pada b: Koefisien dari $y$ adalah $2$.
  • Pada c: Koefisien dari $a^2$ adalah $1$ (karena $1 cdot a^2 = a^2$). Koefisien dari $b$ adalah $3$.

Contoh Soal 2: Menentukan Suku Sejenis dan Suku Tidak Sejenis

Perhatikan bentuk aljabar berikut: $3x^2 + 5y – 2x + 7y^2 – 4x + 9$

a. Identifikasi suku-suku dalam bentuk aljabar tersebut.
b. Kelompokkan suku-suku sejenis.

Pembahasan:

• Suku: Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda tambah (+) atau kurang (-).
  • Suku-suku dalam bentuk aljabar tersebut adalah: $3x^2$, $5y$, $-2x$, $7y^2$, $-4x$, dan $9$.
• Suku Sejenis: Suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat variabel yang sama.
  • Suku-suku yang memiliki variabel $x^2$ adalah $3x^2$.
  • Suku-suku yang memiliki variabel $y$ adalah $5y$.
  • Suku-suku yang memiliki variabel $x$ adalah $-2x$ dan $-4x$.
  • Suku-suku yang memiliki variabel $y^2$ adalah $7y^2$.
  • Suku konstanta adalah $9$.

Jadi, pengelompokan suku sejenisnya adalah:

• Suku dengan variabel $x^2$: $3x^2$
• Suku dengan variabel $y$: $5y$
• Suku dengan variabel $x$: $-2x$ dan $-4x$
• Suku dengan variabel $y^2$: $7y^2$
• Suku konstanta: $9$

Bagian 2: Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Salah satu keterampilan fundamental dalam aljabar adalah menyederhanakan bentuk aljabar dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

Contoh Soal 3: Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

a. $4a + 2b – a + 5b$
b. $2p^2 + 3q – 5p^2 + q – 7$

Pembahasan:

Untuk menyederhanakan, kita perlu mengidentifikasi dan menggabungkan suku-suku sejenis.

a. $4a + 2b – a + 5b$

• Kelompokkan suku-suku dengan variabel $a$: $4a – a = (4-1)a = 3a$
• Kelompokkan suku-suku dengan variabel $b$: $2b + 5b = (2+5)b = 7b$
• Jadi, bentuk sederhananya adalah $3a + 7b$.

b. $2p^2 + 3q – 5p^2 + q – 7$

• Kelompokkan suku-suku dengan variabel $p^2$: $2p^2 – 5p^2 = (2-5)p^2 = -3p^2$
• Kelompokkan suku-suku dengan variabel $q$: $3q + q = (3+1)q = 4q$
• Suku konstanta adalah $-7$.
• Jadi, bentuk sederhananya adalah $-3p^2 + 4q – 7$.

Contoh Soal 4: Menyederhanakan Bentuk Aljabar dengan Tanda Kurung

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

a. $5(x + 2y) + 3(2x – y)$
b. $2(3a – 4) – (a + 5)$

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menghilangkan tanda kurung dengan mengalikan konstanta di depan kurung ke setiap suku di dalam kurung.

a. $5(x + 2y) + 3(2x – y)$

• $5 cdot x + 5 cdot 2y + 3 cdot 2x + 3 cdot (-y)$
• $5x + 10y + 6x – 3y$
• Sekarang, gabungkan suku-suku sejenis:
  • Suku dengan $x$: $5x + 6x = 11x$
  • Suku dengan $y$: $10y – 3y = 7y$
• Jadi, bentuk sederhananya adalah $11x + 7y$.

b. $2(3a – 4) – (a + 5)$

• Perhatikan tanda negatif di depan kurung kedua. Ini berarti kita mengalikan setiap suku di dalam kurung kedua dengan $-1$.
• $2 cdot 3a + 2 cdot (-4) + (-1) cdot a + (-1) cdot 5$
• $6a – 8 – a – 5$
• Sekarang, gabungkan suku-suku sejenis:
  • Suku dengan $a$: $6a – a = 5a$
  • Suku konstanta: $-8 – 5 = -13$
• Jadi, bentuk sederhananya adalah $5a – 13$.

Bagian 3: Menggunakan Aljabar untuk Menyelesaikan Soal Cerita

Salah satu kekuatan utama aljabar adalah kemampuannya untuk menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam bentuk matematis yang dapat diselesaikan.

Contoh Soal 5: Soal Cerita dengan Variabel Tunggal

Ayah membeli $x$ kilogram beras dengan harga Rp12.000 per kilogram. Jika ayah membayar dengan uang Rp50.000 dan menerima kembalian Rp2.000, berapakah jumlah beras yang dibeli ayah?

Pembahasan:

• Identifikasi informasi yang diketahui:
  • Harga beras per kilogram: Rp12.000
  • Jumlah uang yang dibayarkan: Rp50.000
  • Uang kembalian: Rp2.000
• Identifikasi yang ditanya: Jumlah beras yang dibeli (dalam kilogram).
• Bentuklah persamaan aljabar:
  • Total harga beras = Jumlah uang dibayar – Uang kembalian
  • Total harga beras = Rp50.000 – Rp2.000 = Rp48.000
  • Total harga beras juga dapat dinyatakan sebagai: Harga per kilogram $times$ Jumlah beras
  • Rp48.000 = Rp12.000 $times x$
• Selesaikan persamaan untuk mencari $x$:
  • $12.000x = 48.000$
  • $x = frac48.00012.000$
  • $x = 4$

Jadi, jumlah beras yang dibeli ayah adalah 4 kilogram.

Contoh Soal 6: Soal Cerita dengan Dua Variabel

Di sebuah toko buku, Ani membeli 3 buah buku tulis dan 2 buah pensil seharga Rp16.000. Di toko yang sama, Budi membeli 2 buah buku tulis dan 4 buah pensil seharga Rp18.000. Berapakah harga satu buah buku tulis dan satu buah pensil?

Pembahasan:

• Definisikan variabel:
  • Misalkan harga satu buah buku tulis adalah $b$ rupiah.
  • Misalkan harga satu buah pensil adalah $p$ rupiah.
• Bentuklah sistem persamaan aljabar:
  • Dari pembelian Ani: $3b + 2p = 16.000$ (Persamaan 1)
  • Dari pembelian Budi: $2b + 4p = 18.000$ (Persamaan 2)
• Selesaikan sistem persamaan. Ada beberapa metode, salah satunya adalah metode eliminasi. Kita bisa mengalikan Persamaan 1 dengan 2 agar koefisien $p$ sama dengan Persamaan 2:
  • $2 times (3b + 2p = 16.000) Rightarrow 6b + 4p = 32.000$ (Persamaan 3)
• Sekarang, kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3:
  • $(6b + 4p) – (2b + 4p) = 32.000 – 18.000$
  • $6b + 4p – 2b – 4p = 14.000$
  • $4b = 14.000$
  • $b = frac14.0004$
  • $b = 3.500$
• Jadi, harga satu buah buku tulis adalah Rp3.500.
• Substitusikan nilai $b$ ke salah satu persamaan awal untuk mencari $p$. Mari kita gunakan Persamaan 1:
  • $3b + 2p = 16.000$
  • $3(3.500) + 2p = 16.000$
  • $10.500 + 2p = 16.000$
  • $2p = 16.000 – 10.500$
  • $2p = 5.500$
  • $p = frac5.5002$
  • $p = 2.750$
• Jadi, harga satu buah pensil adalah Rp2.750.

Jawaban: Harga satu buah buku tulis adalah Rp3.500 dan harga satu buah pensil adalah Rp2.750.

Bagian 4: Operasi pada Bentuk Aljabar

Operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian juga berlaku pada bentuk aljabar.

Contoh Soal 7: Perkalian Bentuk Aljabar

Tentukan hasil perkalian berikut:

a. $3x cdot 5y$
b. $2a cdot (4a – 3)$
c. $(x + 2)(x + 3)$

Pembahasan:

a. $3x cdot 5y$

• Kalikan koefisiennya: $3 times 5 = 15$
• Kalikan variabelnya: $x times y = xy$
• Hasilnya: $15xy$

b. $2a cdot (4a – 3)$

• Gunakan sifat distributif: kalikan $2a$ ke setiap suku di dalam kurung.
• $(2a times 4a) + (2a times -3)$
• $8a^2 – 6a$ (Ingat: $a times a = a^2$)

c. $(x + 2)(x + 3)$

• Gunakan metode FOIL (First, Outer, Inner, Last) atau sifat distributif berulang.
• First: $x times x = x^2$
• Outer: $x times 3 = 3x$
• Inner: $2 times x = 2x$
• Last: $2 times 3 = 6$
• Jumlahkan semua hasil: $x^2 + 3x + 2x + 6$
• Sederhanakan dengan menggabungkan suku sejenis: $x^2 + 5x + 6$

Contoh Soal 8: Pembagian Bentuk Aljabar

Tentukan hasil pembagian berikut:

a. $12m^2n div 3m$
b. $(6x^2 + 9x) div 3x$

Pembahasan:

a. $12m^2n div 3m$

• Bagi koefisiennya: $12 div 3 = 4$
• Bagi variabel $m$: $m^2 div m = m^(2-1) = m^1 = m$ (Ingat sifat pembagian pangkat: $a^m / a^n = a^m-n$)
• Variabel $n$ tetap ada karena tidak ada variabel $n$ di pembagi.
• Hasilnya: $4mn$

b. $(6x^2 + 9x) div 3x$

• Kita bisa membagi setiap suku di dalam kurung dengan $3x$.
• $frac6x^23x + frac9x3x$
• Untuk suku pertama: $frac63 cdot fracx^2x = 2 cdot x^(2-1) = 2x$
• Untuk suku kedua: $frac93 cdot fracxx = 3 cdot x^(1-1) = 3 cdot x^0 = 3 cdot 1 = 3$
• Hasilnya: $2x + 3$

Penutup

Mempelajari aljabar di kelas 7 semester 1 adalah sebuah petualangan yang penuh penemuan. Dengan memahami konsep-konsep dasar seperti variabel, konstanta, suku, serta menguasai operasi-operasi penyederhanaan dan pemecahan soal cerita, Anda telah membangun fondasi yang kuat untuk perjalanan matematika Anda selanjutnya. Ingatlah bahwa latihan adalah kunci utama. Semakin sering Anda mengerjakan berbagai jenis soal, semakin nyaman dan percaya diri Anda dalam menghadapi tantangan aljabar. Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya, dan nikmatilah proses belajar yang membuka wawasan ini!

>